Travail et Énergie - Énergie dans une montagne russe

Énoncé:

Une masse commence son mouvement au point A sans vitesse initiale et sans frottement avec la piste. Déterminez en fonction de hA quelle peut être la valeur maximale du rayon de la partie circulaire de la piste pour que la masse ne tombe pas. Calculez alors quelle est l’altitude maximale qu’elle atteindrait au point C.

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Solution:

Dans un premier temps nous allons calculer le rayon de la section circulaire de la piste en utilisant la deuxième loi de Newton.

Nous dessinons les forces qui agissent sur la masse au point B (le poids car elle est proche de la superficie de la Terre et la normale car elle se trouve sur la piste):

Nous avons aussi représenté les axes (tangent et perpendiculaire à la trajectoire) que nous utiliserons pour faire la projection des vecteurs de la deuxième loi de Newton.

La deuxième loi de Newton appliqué à la masse au point B nous donne:

Comme les deux forces qui agissent sur la masse sont dirigées le long de l’axe perpendiculaire à la trajectoire, nous ne faisons la projection des vecteurs de la deuxième loi de Newton que sur cet axe:

La norme de l’accélération normale apparait dans la partie droite de l’équation (1) car la projection du vecteur accélération sur l’axe perpendiculaire à la trajectoire est l’accélération par définition.

La norme de l’accélération normale est alors donnée par:

Et en substituant dans l’équation (1) nous obtenons:

Si la masse tombe et cesse d’être en contact avec la piste, la force normale s’annule. En imposant cette condition dans l’équation (1) nous trouvons quelle est la vitesse minimale que doit avoir la masse au point B pour continuer sur la piste. En utilisant un raisonnement énergétique nous déterminerons ensuite quel sera le rayon maximal R.

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Une fois obtenu la valeur de la vitesse minimale nous déterminons le rayon R.

Il n’y a pas de frottement entre la piste et la masse et la force normale ne produit pas de travail car elle est perpendiculaire au déplacement, par conséquent l’énergie mécanique (ou totale) se conserve entre les points A et B:

La masse est au repos initialement, la vitesse initiale est donc nulle. La hauteur de la masse au point B est 2R et nous avons d’autre part la vitesse au point B qui est donnée par l’équation (1). En substituant nous obtenons:

En résolvant l’équation (2) nous obtenons:


Pour déterminer la hauteur maximale qu’atteint la masse au point C nous appliquons le principe de la conservation de l’énergie entre les points A et C. Le dernier segment de la piste est droit, la vitesse s’annulera donc à la hauteur maximale hC.

Nous écrivons le principe de conservation de l’énergie mécanique entre les points A et C:

Ce résultat était attendu, la masse atteint exactement la même hauteur que celle à laquelle elle se trouvait initialement car son énergie se conserve.

 

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