Travail et Énergie - Pendule simple

Énoncé:

Déterminez la vitesse de la masse d’un pendule simple de longueur l au point le plus bas de sa trajectoire, ainsi que la tension de la corde en ce même point. L’angle initial que forme la corde du pendule avec la verticale est α0.

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Solution:

Nous allons commencer par dessiner les forces qui agissent sur la masse du pendule en un point quelconque de sa trajectoire. Nous avons d’une part la tension de la corde, et d’autre part le poids si le pendule est proche de la Terre.

Le vecteur déplacement (en bleu) est aussi représenté dans la figure ci-dessus, il est toujours tangent à la trajectoire.

Dans la figure ci-dessous nous avons représenté les états initial et final que nous utiliserons pour appliquer le principe de la conservation de l’énergie. Nous avons aussi représenté l’origine des hauteurs que nous utiliserons.

La tension est perpendiculaire au déplacement, elle ne fournit donc pas de travail à la masse:

L’autre force qui agit sur la masse, son poids, est conservatrice, par conséquent l’énergie mécanique (ou totale) de la masse se conserve durant son mouvement.

Au point A la masse du pendule n’a que de l’énergie potentielle car elle est au repos. Au point B elle n’a que de l’énergie cinétique car elle est à une hauteur hB = 0.

Nous pouvons donc écrire le principe de la conservation de l’énergie de la façon suivante:

Nous devons écrire la hauteur hA en fonction des données du problème; c’est à dire en fonction de la longueur l du pendule et de l’angle initial α0.

Nous allons utiliser la figure ci-dessous pour écrire hA en fonction des données du problème.

À partir de la figure ci-dessus nous déduisons que:

Et en substituant dans l’équation de la conservation de l’énergie nous obtenons:


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Nous utilisons la deuxième loi de Newton pour calculer la tension de la corde au point B. Les forces qui agissent sur la masse sont la tension et le poids. Elle sont représentées dans la figure ci-dessous. Nous y avons aussi représenté les axes qui nous utiliserons pour faire la projection des vecteurs.

Le deuxième loi de Newton pour la masse au point B s’exprime ainsi:

Et en faisant la projection sur l’axe n (les forces ont une projection nulle sur l’axe tangent en ce point) nous obtenons:

L’accélération normale apparait à droite de l’équation car c’est par définition la projection du vecteur accélération sur l’axe perpendiculaire à la trajectoire.

Pour terminer nous substituons la valeur de la vitesse au point B (calculée précédemment) dans l’équation (1) et nous obtenons:

Il est important que vous constatiez que la tension au point B ne peut pas avoir la même norme que le poids. Elle doit en effet avoir une norme supérieure à celle du poids. Si les deux forces avaient le même norme et s’annulaient la particule ne pourrait pas avoir d’accélération normale car la partie droite de l’équation (1) serait zéro. La masse doit obligatoirement avoir une accélération normale pour qu’elle décrive une trajectoire curviligne.

 

 

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