Travail et Énergie - Force de frottement

Énoncé:

Une masse m = 5 kg commence son mouvement au point A de la figure (situé à une hauteur hA = 2 m) avec une vitesse vA = 20 m/s. Lorsqu’elle arrive au point B (situé à une hauteur hB = 1.2m), sa vitesse est vB = 10 m/s.

  1. Déterminez la valeur du travail de la force de frottement entre les points A et B.
  2. Si le rayon de courbure de la piste au point B est ρ = 2 m, vérifiez que la vitesse de la masse en ce point est supérieure à celle nécessaire pour qu’elle décolle de la piste.

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Solution:

Pour calculer le travail de la force de frottement nous allons déterminer l’énergie mécanique (ou totale) de la masse aux points A et B. La différence entre les deux est le travail de la force de frottement.

Vous pouvez constater sur la figure que nous avons pris l’origine des hauteurs au point le plus bas de la piste.

En utilisant dans l’équation ci-dessus les valeurs numériques de l’énoncé nous obtenons:

En prenant g = 10 m/s2.


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Dans le point (b) nous allons calculer la vitesse minimale nécéssaire pour que la masse décolle au point B. Nous dessinons tout d’abord les forces qui agissent sur elle:

Comme vous pouvez le constater dans la figure, la masse a une accélération normale an au point B car la piste est courbe en ce point et le vecteur vitesse change d’orientation.

Nous avons aussi représenté un axe tangent et un perpendiculaire (normal) à la piste au point B. Ce sont les axes que nous utiliserons pour projeter les vecteurs de la deuxième loi de Newton.

La deuxième loi de Newton pour la particule au point B est:

Et en faisant la projection sur les axes t et n on obtient:

L’équation (1) permettrait de calculer la valeur de l’accélération tangentielle de la particule en fonction de la force de frottement. Nous allons utiliser l’équation (2).

La norme de l’accélération normale est définie par:

Où ρ est le rayon de courbure de la piste au point B.

En substituant dans l’équation (2) on obtient:

Lorsque la particule décolle, elle cesse d’être en contact avec la piste. Par conséquent à ce moment la force normale s’annule:

En prenant g = 10 m/s2.

L’énoncé du problème nous dit que la vitesse de la masse au point B est vB = 10 m/s, cette vitesse est donc supérieure à la valeur minimale pour que la masse décolle.

N’oubliez pas d’inclure les unités dans les résultats des problèmes.

 

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