Travail et Énergie - Travail d'une force constante

Énoncé:

Un bloc de masse m = 5 kg se déplace avec frottement sur un plan horizontal sous l’action d’une force horizontale constante de norme F = 40 N. Si le bloc part d’une situation de repos et le coefficient de frottement avec le plan est μ = 0.3, déterminez la vitesse qu’il aura atteint lorsqu’il aura parcouru une distance d = 8m.

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Solution:

Dans ce problème nous allons calculer le travail des différentes forces qui agissent sur un corps et faire le lien avec la variation de l’énergie cinétique qu’expérimente ce corps.

Dans un premier temps nous faisons un diagramme qui représente les différentes forces qui agissent sur le corps:

Où dr est le vecteur déplacement. Il est tangent à la trajectoire du corps en tout point et a le même sens du mouvement que celui-ci.

Pour calculer la vitesse du bloc au point B, nous allons utiliser l’équation qui fait le lien entre la variation de l’énergie cinétique et le travail des forces qui agissent sur lui:

La partie gauche de l’équation ci-dessus est la variation de l’énergie cinétique de la particule lorsqu’elle se déplace du point A au point B:

Le partie droite de l’équation est la somme du travail des forces (chacun d’entre eux avec son signe) qui agissent sur la particule:

Nous allons maintenant calculer chacun d’entre eux.

Le travail d’une force est défini par:

L’intégrale curviligne est calculée le long de la trajectoire (C) de la particule entre le point initial (A) et le point final (B). Elle intègre le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement.

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Travail de la force F:

Dans un premier temps nous écrivons les vecteurs F et dr en fonction de leurs vecteurs constituants. Les deux vecteurs pointent dans le sens positif de l’axe x, ce qui nous permet de les exprimer en multipliant leur norme par le vecteur unitaire i qui leur donne sens et direction:

En substituant dans l’expression du travail on obtient:

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est égal à sa norme au carré. Comme i est unitaire, ce produit scalaire est égal à 1.

Nous pouvons d’autre part substituer les bornes de l’intégrale. La variable d’intégration est x, de sorte que la borne inférieure sera la coordonnée x du point A et la borne supérieure la coordonnée x du point B.


Travail de la normale N:

En utilisant de nouveau la définition du travail nous obtenons:

Le travail de la normale est nul car le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est toujours nul.


Travail du poids P:

Nous utilisons à nouveau la définition du travail:

Dans ce cas particulier le poids ne génère pas de travail car il est perpendiculaire au déplacement.


Travail de la force de frottement FR:

En utilisant à nouveau la définition du travail nous obtenons:

Le travail de la force de frottement est négatif parce que la force de frottement s’oppose au mouvement du corps. Par conséquent il fait perdre de l’énergie cinétique (vitesse).

La norme de la force de frottement est définie par l’expression suivante:

Nous calculons la norme de la normale en appliquant la deuxième loi de Newton pour le mouvement du bloc.

Et en faisant la projection sur les axes représentés dans la figure nous obtenons:

À partir de l’équation (2) nous déduisons que dans ce cas la norme de la normale est égale à la norme du poids. Par conséquent le travail de la force de frottement est:

Nous pouvons maintenant substituer tous les travaux calculés dans la somme des travaux:

En retournant à l’expression qui fait le lien entre la variation de l’énergie cinétique avec le travail nous obtenons:

Et en substituant avec les données numériques nous pouvons déduire la vitesse du bloc au point B:

En prenant g = 10 m/s2

N’oubliez pas d’inclure les unités dans les résultats des problèmes.

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