Une des attractions d’un parc aquatique consiste en une piste circulaire sans frottement de rayon R et une piscine en dessous (voir la figure). Un baigneur se laisse glisser depuis la partie supérieure de la piste sans vitesse initiale, déterminez quelle est l’angle θ lorsqu’il quitte la piste.
Solution:
Par définition la normale s’annule lorsque le baigneur cesse d’être en contact avec la piste. Si nous écrivons la deuxième loi de Newton pour les forces qui agissent sur le baigneur lorsqu’il quitte la piste nous pourrons calculer la vitesse qu’il a en ce point ce qui nous permettra ensuite de calculer l’angle θ en utilisant le principe de la conservation de l’énergie.
Nous allons dessiner les forces qui agissent sur le baigneur lorsqu’il glisse sur la piste circulaire ainsi que les axes que nous utiliserons pour faire les projections pour la deuxième loi de Newton:
Les forces qui agissent sur le baigneur sont le poids (car il est proche de la superficie de la Terre) et la normale (lorsqu’il est appuyé sur la piste). La deuxième loi de Newton pour le baigneur s’écrit donc ainsi:
En faisant la projection des forces sur les axes tangent et perpendiculaire à la trajectoire nous obtenons:
Les projections du poids sur les axes tangent et perpendiculaire à la trajectoire sont représentés dans la figure ci-dessous:
Nous pourrions obtenir l’accélération tangentielle du baigneur à partir de l’équation (1).
Nous allons utiliser l’équation (2) pour déterminer la vitesse du baigneur lorsqu’il quitte la piste circulaire. À ce moment la normale devient nulle car il n’y a plus de contact entre le baigneur et la piste. Nous imposons cette condition dans l’équation (2) et nous substituons la norme de l’accélération normale pour obtenir:
Nous allons maintenant utiliser le principe de la conservation de l’énergie entre le point A (au plus haut de la circonférence du cercle qui correspond à la position initiale du baigneur) et le point B (lorsque le baigneur décolle de la piste).
L’énergie mécanique du baigneur entre les points A et B se conserve. Car la force normale qui est par définition perpendiculaire au mouvement ne fait pas de travail et d’autre le part car le poids est une force conservatrice. Nous pouvons par conséquent écrire la conservation de l’énergie entre les points A et B:
En substituant les hauteurs et la vitesse du baigneur (qui vient de l’équation (2)) au point B, nous obtenons:
Ce qui nous permet de déduire l’angle θ en simplifiant l’équation (3):
Observez que le résultat ne dépend pas de la masse du baigneur ni du rayon de la piste circulaire.
Cette page Travail et Énergie - Parc aquatique a été initialement publiée sur YouPhysics
