Trabajo y energía – Parque acuático

Enunciado:

Una atracción de un parque acuático consiste en una pista circular de radio R sin rozamiento y al final de ella una piscina. Determinar el valor del ángulo θ para el que un bañista se despegará de la pista si se lanza desde la parte superior de la misma sin velocidad inicial.

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Solución:

Cuando el bañista deje de estar en contacto con la pista la normal se anulará. Por tanto, si escribimos la segunda ley de Newton para el bañista en el momento de despegarse de la pista, podremos obtener la velocidad que lleva en ese punto y después por energías calcular el ángulo θ.

Para ello vamos a dibujar las fuerzas que actúan sobre él en el punto indicado en la figura así como los ejes que emplearemos para proyectar la segunda ley de Newton:

Las fuerzas que actúan sobre el bañista son el peso (por estar cerca de la superficie de la Tierra) y la normal (por estar apoyado en la pista). Por tanto la segunda ley de Newton para él queda:

Y proyectando sobre los ejes tangente y perpendicular a la trayectoria:

En la siguiente figura tienes representadas las proyecciones del peso sobre los ejes tangente y perpendicular a la trayectoria:

De la ecuación (1) obtendríamos la aceleración tangencial del bañista.

Vamos a utilizar la ecuación (2) para determinar la velocidad que lleva el bañista al despegarse de la pista. Cuando esto sucede la normal se anula porque deja de haber contacto entre ambos. Imponiendo esta condición a la ecuación (2) y sustituyendo el módulo de la aceleración normal:

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A continuación vamos a aplicar el principio de conservación de la energía entre los puntos A (en la parte más alta de la circunferencia) y B (punto en que el bañista se despega de la pista).

La energía mecánica del bañista entre los puntos A y B se conserva, ya que la normal no hace trabajo al ser perpendicular al desplazamiento y el peso es una fuerza conservativa. Por tanto entre los puntos A y B podemos escribir:

Y sustituyendo el valor de las alturas y de la velocidad del bañista en el punto B dada por la ecuación (2):

Operando en la ecuación (3):

Observa que el resultado no depende de la masa del bañista ni del radio de la pista circular.

La página Trabajo y energía – Parque acuático ha sido originalmente publicada en YouPhysics