Trabajo y energía – Energía en una montaña rusa

Enunciado:

Se deja caer sin velocidad inicial una masa desde el punto A de la pista sin rozamiento de la figura. Determinar en función de hA el valor que debe tener el radio del tramo circular de la pista para que la masa llegue al punto B y siga en la trayectoria. Calcular la altura que alcanza la masa en el punto C.

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Solución:

En primer lugar vamos a calcular utilizando la segunda ley de Newton el radio del tramo circular de la pista.

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la masa (peso por estar cerca de la superficie de la Tierra y normal por estar apoyada en la pista):

En la figura también se han representado los ejes (tangente y perpendicular a la trayectoria) que utilizaremos para proyectar la segunda ley de Newton.

La segunda ley de Newton aplicada a la masa en el punto B viene dada por:

Como las dos fuerzas que actúan sobre la masa están dirigidas a lo largo del eje perpendicular a la trayectoria, la segunda ley de Newton únicamente tiene proyección sobre dicho eje:

En el segundo miembro de la ecuación (1) aparece el módulo de la aceleración normal ya que la proyección del vector aceleración sobre el eje perpendicular a la trayectoria es por definición dicha aceleración.

Por otra parte el módulo de la aceleración normal viene dado por:

Y sustituyendo en la ecuación (1):

Cuando la masa de sale de la trayectoria deja de estar en contacto con la pista, por lo que la fuerza normal se anula. Imponiendo esta condición en la ecuación (1) hallaremos la velocidad mínima que debe llevar la masa en el punto B para seguir en la trayectoria. Después utilizando razonamientos energéticos determinaremos el radio R.

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Una vez obtenido el valor de la velocidad mínima determinamos el radio R.

Entre la pista y la masa no hay rozamiento y la fuerza normal no hace trabajo por ser perpendicular al desplazamiento, por lo que la energía mecánica (o total) se conserva entre los puntos A y B:

La masa parte del reposo, por lo que su velocidad inicial es cero. La altura a la que se encuentra la masa en el punto B es 2R. Por otra parte, la velocidad en el punto B viene dada por la ecuación (1). Sustituyendo:

Finalmente despejando de la ecuación (2):


Para determinar la altura que la masa alcanza en el punto C, aplicamos el principio de conservación de la energía entre los puntos A y C. El último tramo de la pista es recto, por lo que la velocidad se anulará para el valor máximo de hC

Escribimos el principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y C:

Este resultado es el esperable. La masa alcanza exactamente la misma altura a la que se encontraba inicialmente, puesto que su energía se conserva.

 

La página Trabajo y energía – Energía en una montaña rusa ha sido originalmente publicada en YouPhysics