Trabajo y energía – Movimiento circular vertical

Enunciado:

Una bola de tamaño despreciable está sujeta a una cuerda de longitud R. Un hombre hace girar la cuerda en un plano vertical, de modo que la bola describe un movimiento circular. Demostrar que, para que la cuerda esté tensa en el punto más alto de su trayectoria, su velocidad mínima en el punto más bajo de la misma debe ser vA = (5gR)1/2 .

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Solución:

En primer lugar vamos a calcular la velocidad mínima que debe llevar la bola en el punto más alto de la trayectoria (B) para que la cuerda esté tensa. Para ello, escribimos la segunda ley de Newton para la bola en ese punto. En la siguiente figura se han representado las fuerzas que actúan sobre ella así como los ejes que usaremos para proyectar.

La segunda ley de Newton para la bola en el punto B se escribe:

A continuación proyectamos sobre el eje perpendicular a la trayectoria (n en la figura):

En el segundo miembro de la ecuación (1) aparece la aceleración normal porque, por definición, la proyección del vector aceleración sobre el eje perpendicular a la trayectoria es dicha aceleración.

Sustituyendo el valor del módulo de la aceleración normal:

Cuando la cuerda deja de estar tensa su tensión se anula. Imponiendo esta condición en la ecuación (1) obtendremos el mínimo valor de la velocidad en ese punto para que la cuerda esté tensa:

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Con este valor ya podemos aplicar el principio de conservación de la energía de la bola entre los puntos A y B. La tensión no hace trabajo porque es perpendicular al desplazamiento. Por otra parte, el peso es una fuerza conservativa. Por tanto la energía total de la bola se conserva entre esos dos puntos:

La altura de la bola en el punto B es dos veces el radio de la trayectoria. Sustituyendo dicho valor así como el módulo de la velocidad en el punto B dado por la ecuación (1):

Y finalmente, despejando de la ecuación (2):

 

La página Trabajo y energía – Movimiento circular vertical ha sido originalmente publicada en YouPhysics