Travail et Énergie - Mouvement circulaire vertical

Énoncé:

Une balle de taille négligeable est fixée à une corde de longueur R. Un homme fait tourner la corde dans un plan vertical de sorte que la balle décrive un mouvement circulaire. Démontrer que pour que la corde soit tendue au point le plus haut de sa trajectoire, sa vitesse minimale au point le plus bas de la trajectoire doit être vA = (5gR)1/2.

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Solution:

Nous allons dans un premier temps calculer la vitesse minimale pour que la corde soit tendue au point B le plus haut de la trajectoire. Pour faire cela nous écrivons la deuxième loi de Newton pour les forces qui agissent sur la balle en ce point. Nous avons représenté les forces et les axes qui nous utiliserons pour faire les projections dans la figure ci-dessous.

La deuxième loi de Newton pour la balle au point B s’écrit de la façon suivante:

Nous faisons la projection des vecteurs sur l’axe perpendiculaire à la trajectoire (l’axe n dans la figure):

L’accélération normale apparait à droite de l’équation (1) car, par définition, la projection du vecteur accélération normale sur l’axe perpendiculaire est cette même accélération normale.

En remplaçant avec la norme de l’accéleration normale on obtient:

Si la corde n’est plus tendue sa tension s’annule. En imposant cette condition dans l’équation (1) nous obtenons la valeur minimale de la vitesse en ce point pour que la corde soit tendue:

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Une fois obtenue cette valeur nous pouvons appliquer le principe de la conservation de l’énergie entre les points A et B pour calculer la vitesse minimale au point A. La tension de la corde n’apporte pas de travail car elle est perpendiculaire au mouvement. D’autre part, le poids est une force conservatrice. Par conséquent l’énergie totale de la balle se conserve entre ces deux points:

La hauteur de la balle au point B est deux fois le rayon de la trajectoire. En substituant cette valeur ainsi que la norme de la vitesse minimale au point B fournie par l’équation (1) nous obtenons:

Ce qui nous permet finalement de trouver la vitesse minimale au point A:

 

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