Travail et énergie - Deux masses et une poulie

Énoncé:

Deux masses m1 et m2 (m1 > m2) sont suspendues à une corde inextensible qui passe par une poulie de masse négligeable (voir la figure). La masse m1 se trouve initialement à une hauteur h1 et les deux masses sont initialement au repos. Quelle hauteur maximale atteindra la masse m2 lorsqu’on libère le système? Donner le résultat à partir des données du problème.

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Solution:

Nous allons résoudre le problème en deux étapes. Dans un premier temps nous calculerons la vitesse des deux masses lorsque m1 arrive au sol, puis nous calculerons la hauteur additionnelle que parcourt m2 lorsque la corde n’est plus tendue.

Nous avons représenté dans la figure ci-dessous l’état initial et l’état final du système. Dans l’état initial A les deux masses sont au repos et m1 se trouve à une hauteur h1 du sol. Dans l’état final B la masse m1 est arrivée au sol. Les deux masses ont la même vitesse car elles sont unis par la corde qui est inextensible.

L’énergie mécanique de l’ensemble de deux masses se conserve durant le mouvement, car la seule force qui agit sur elles est le poids (qui est une force conservative) et le travail total des tensions pour les deux cotés de la corde s’annule. Nous pouvons donc écrire le principe de conservation de l’énergie pour l’ensemble des deux masses de la façon suivante:

Nous déduisons la vitesse à partir de l’équation ci-dessus:


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Lorsque la masse m1 arrive au sol, la corde cesse d’être tendue. Comme la masse m2 a une vitesse à cet instant, elle continuera à monter jusqu’à une hauteur additionnelle h avant de redescendre.

Nous avons représenté dans la figure ci-dessous les états B (lorsque la masse m1 arrive au sol) et C lorsque la masse m2 arrête de monter. Observez que nous avons déplacé l’origine des hauteurs à la position qu’occupe m2 dans l’état B.

L’énergie mécanique de la masse m2 se conserve entre les états B et C, car la corde n’a pas de tension et le poids est une force conservative, nous pouvons donc écrire:

En remplaçant la valeur v calculée précédemment nous pouvons déduire la hauteur h:

La hauteur maximale qu’atteint la masse m2 par rapport au sol est donc h1 + h:

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