Trabajo y energía – Péndulo simple

Enunciado:

Determinar la velocidad de la masa de un péndulo simple de longitud l en el punto más bajo de su trayectoria, y la tensión de la cuerda en ese mismo punto. El ángulo inicial que forma la cuerda del péndulo con la vertical es α0.

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Solución:

Vamos a empezar por dibujar las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo en un punto cualquiera de su trayectoria. Por una parte sobre él actuará la tensión de la cuerda y, al estar cerca de la Tierra, también el peso.

En la figura anterior está también representado (en azul) el vector desplazamiento, que es siempre tangente a la trayectoria.

En la siguiente figura tienes representados los estados inicial y final que vamos a emplear para aplicar el principio de conservación de la energía. También tienes representado el origen de alturas que utilizaremos.

La tensión es perpendicular al desplazamiento, por lo que no hace trabajo sobre la masa:

La otra fuerza que actúa sobre la masa, su peso, es conservativa, por lo que la energía mecánica (o total) de la masa se conservará durante su movimiento.

En el punto A la masa del péndulo solo tiene energía potencial porque está en reposo. En el punto B solo tiene energía cinética porque está a una altura hB = 0.

Podemos escribir entonces el principio de conservación de la energía:

Ahora debemos escribir la altura hA en función de los datos del problema; esto es, en función de la longitud l del péndulo y del ángulo inicial α0.

Vamos a ayudarnos de la siguiente figura para escribir hA en función de los datos del problema.

De la figura anterior se deduce que:

y sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía:


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Para calcular la tensión de la cuerda en el punto B utilizaremos la segunda ley de Newton en ese punto. Las fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión y el peso, y las tienes representadas en la figura siguiente. También se han representado los ejes que emplearemos para proyectar.

La segunda ley de Newton para la masa en el punto B es:

Y proyectando sobre el eje n (en ese punto la proyección de las fuerzas sobre el eje tangente es nula):

En el segundo miembro aparece la aceleración normal porque esta es por definición la proyección del vector aceleración sobre el eje perpendicular a la trayectoria.

Para terminar, sustituimos en la ecuación (1) el valor de la velocidad en el punto B calculado anteriormente y despejamos:

Es importante que veas que la tensión en el punto B no puede tener el mismo módulo que el peso. De hecho, debe tener un módulo mayor que el peso. Si ambas fuerzas se anularan la partícula no podría tener aceleración normal porque el segundo miembro de la ecuación (1) sería cero. Pero la masa necesariamente tiene que tener aceleración normal por estar describiendo una trayectoria curvilínea.

 

 

La página Trabajo y energía – Péndulo simple ha sido originalmente publicada en YouPhysics