Un bloque de masa m = 5 kg se mueve sobre un plano horizontal con rozamiento bajo la acción de una fuerza horizontal constante de módulo F = 40 N . Si el bloque parte del reposo y el coeficiente de rozamiento con el plano es μ = 0.3, determinar la velocidad que habrá alcanzado cuando haya recorrido una distancia d = 8 m.
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Solución:
En este problema vamos a calcular el trabajo de las distintas fuerzas que actúan sobre un cuerpo y a relacionarlo con la variación de energía cinética que dicho cuerpo experimenta.
En primer lugar hacemos un diagrama representando las distintas fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
Donde dr es el vector desplazamiento. Es tangente a la trayectoria del cuerpo en cada punto y tiene el sentido del desplazamiento del mismo.
Para calcular la velocidad de la masa en el punto B, vamos a emplear la ecuación que relaciona la variación de energía cinética con el trabajo de las fuerzas que actúan sobre ella:
El primer miembro de la ecuación anterior es la variación de energía cinética de la partícula cuando se desplaza desde el punto A al punto B:
El segundo miembro es el sumatorio del trabajo de las fuerzas (cada uno de ellos con su signo) que actúan sobre la partícula:
A continuación vamos a calcular cada uno de ellos.
El trabajo de una fuerza viene dado por:
La integral de línea está calculada a lo largo de la trayectoria (C) de la partícula entre el punto inicial (A) y final (B). Dentro de la integral aparece el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
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Trabajo de la fuerza F:
En primer lugar escribimos los vectores F y dr en función de sus vectores constituyentes. Ambos apuntan en el sentido positivo del eje x, por lo que pueden expresarse multiplicando su módulo por el vector unitario i que les da dirección y sentido:
Sustituyendo en la expresión del trabajo:
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado. Como i es unitario, dicho producto escalar es igual a 1.
En la integral podemos sustituir además los extremos de integración. La variable de integración es x, de modo que el extremo inferior será la coordenada x del punto A y el superior la coordenada x del punto B.
Trabajo de la normal N:
Utilizando de nuevo la definición de trabajo:
El trabajo de la normal es cero porque el producto escalar de dos vectores perpendiculares es siempre cero.
Trabajo del peso P:
Volviendo a la definición de trabajo:
En este caso en particular el peso no hace trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.
Trabajo de la fuerza de rozamiento FR:
Utilizando de nuevo la definición de trabajo:
El trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo porque la fuerza de rozamiento se opone al movimiento del cuerpo. Por tanto le hace perder energía cinética (velocidad).
El módulo de la fuerza de rozamiento viene dado por la expresión:
Y calculamos el módulo de la normal aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del bloque.
Y proyectando sobre los ejes representados en la figura:
De la ecuación (2) se deduce que en este caso el módulo de la normal es igual al módulo del peso. Por tanto el trabajo de la fuerza de rozamiento es:
Ahora sustituimos todos los trabajos calculados en la suma de los trabajos:
Y volviendo a la expresión que relaciona la variación de energía cinética con el trabajo:
Sustituyendo los datos numéricos y despejando la velocidad de la masa en el punto B:
Donde se ha tomado g = 10 m/s2
No olvides poner las unidades en todos los resultados que obtengas al hacer los problemas.
La página Trabajo y energía – Trabajo de una fuerza constante ha sido originalmente publicada en YouPhysics
