Énergie dans un mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple est celui que décrit une masse (une particule) soumise à une force de rappel proportionnelle à son déplacement.

L’exemple le plus commun de mouvement harmonique simple est celui qui est décrit par une masse accrochée à un ressort dans sa limite d’élasticité (lorsque celui-ci récupère sa forme initiale sans subir de déformation permanente s’il est comprimé ou étiré). Dans ce cas, la force exercée par le ressort sur la masse est donnée par la loi de Hooke:

Où x est le déplacement de la masse (ou la déformation du ressort) et k est la raideur du ressort, aussi appelée constante de rappel.

La masse décrit un mouvement périodique entre les positions extrêmes x = A et x = -A lorsqu’elle est soumise à la force précédente.

La force du ressort est conservative, elle est donc associée à une énergie potentielle élastique telle que la force soit l’opposé du gradient de l’énergie potentielle:

Par conséquent, l´énergie potentielle élastique est la parabole définie par l’équation suivante:

Durant les différentes étapes du mouvement harmonique simple, la masse aura plus ou moins d’énergie potentielle élastique en fonction de la valeur de l’étirement x du ressort à un instant donné. Comme l’énergie totale E se conserve, la somme de l’énergie cinétique (K) et de son énergie potentielle élastique sera constante:

La masse fixée au ressort ainsi que l’énergie potentielle, l’énergie cinétique et l’énergie totale qu’elle a à différents instants de son mouvement sont représentées dans la figure ci-dessus:

L’énergie potentielle élastique de la masse est représentée en rouge, son énergie cinétique en bleu et l’énergie totale (la somme de ces deux) en vert. Nous supposerons qu’à l’instant initial (t = 0), la position de la masse (et l’étirement du resort) est x = A. La masse est au repos à ce moment, elle n’a donc pas d’énergie cinétique, son énergie potentielle est alors maximale, elle est égale à l’énergie totale et a pour valeur:

Lorsque la masse est libérée, elle commence à se déplacer vers la gauche du fait de la force de rappel du ressort qui tend à récupérer sa forme initiale. Lorsqu’elle se trouve à la position x₀ représentée dans la figure, la masse aura de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, et la somme des deux sera égale à l’énergie totale:

Lorsque la masse passe par sa position d’équilibre x = 0, son énergie potentielle élastique sera nulle et son énergie cinétique sera égale à l’énergie totale:

La masse aura une vitesse nulle à la position x = -A et toute son énergie sera de nouveau potentielle. Elle repartira ensuite vers la droite du fait de la force de rappel du ressort jusqu’à atteindre de nouveau la position x = A. Et comme le mouvement est périodique, ce processus se répètera cycliquement.

Vous pouvez consulter la page du mouvement harmonique simple pour voir comment sont exprimées la position, la vitesse et l’accélération en fonction du temps.

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