Ondes longitudinales (ondes sonores)

Une onde sonore est une perturbation constituée par une série de compressions et dilatations qui se propagent dans un milieu matériel. Les ondes sonores peuvent être unidimensionnelles, bidimensionnelles ou tridimensionnelles. Nous étudierons le cas d’une onde sonore unidimensionnelle dans cette page.

Afin de voir comment une onde sonore se génère ainsi que sa description mathématique, nous allons imaginer la situation représentée dans la figure ci-dessous. Un cylindre de longueur infini qui contient un gaz est fermé par un piston à l’une de ses extrémités. Initialement, tout le gaz est en équilibre et se trouve à la même pression p0.

Lorsque le piston décrit un mouvement harmonique simple d´amplitude sm comme cela est indiqué en rouge dans la figure, les particules du gaz décrivent elles aussi un mouvement harmonique simple. Il y aura par conséquent des zones à l’intérieur du cylindre qui se trouveront à une pression plus élevée que celle de la situation d’équilibre et qui s’appellent des compressions (en bleu foncé dans la figure) et d’autres qui se trouveront à une pression plus basse et qui sont appelées des dilatations (en bleu clair dans la figure). Ces zones oscillent en fonction du temps, par conséquent la représentation faite dans la figure ci-dessus est une “photo” de l’état du cylindre à un instant donné.

L’onde qui est générée ainsi est sinusoïdale (car elle est produite par un mouvement harmonique simple) et longitudinale, car les particules du gaz oscillent de droite à gauche (sur l’axe x) et l’énergie se propage dans la même direction.

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L’expression de cette onde longitudinale peut être décrite mathématiquement de deux façons: ou bien en exprimant le déplacement d’un petit élément de volume du gaz par rapport à sa position d’équilibre, ou bien en décrivant mathématiquement la pression dans les différentes zones du cylindre.

Par analogie avec les ondes transversales, le déplacement s d’un élément de volume du gaz par rapport à sa position d’équilibre est donné par:

Où ω est la fréquence angulaire de l’onde et k est le nombre d’onde. Ils ont respectivement les valeurs suivantes:

T (s) est la période de l’onde sonore, qui est définie comme le temps que met chaque élément de volume de gaz pour décrire une oscillation complète.

λ (m) est la longueur d’onde de l’onde sonore, c’est la distance entre deux compressions ou deux dilatations consécutives.

sm est l’amplitude de l’onde sonore: c’est le déplacement maximal de l’élément de volume par rapport à sa position d’équilibre.

Si nous l’exprimons en fonction de la pression, la fonction qui décrit l’onde sonore est:

Où Δpm est la variation maximale de la pression par rapport à la pression d’équilibre p0.

Les deux fonctions (en fonction du déplacement ou en fonction de la variation de la pression) ont un déphasage de π/2. Cela signifie que lorsque le déplacement d’un élément de volume par rapport à la position d’équilibre est nul, la différence de pression par rapport à celle de l’équilibre pour cet élément de volume est maximale. L’analyse du déplacement des particules du gaz dans les zones du cylindre avec différentes pressions permet de comprendre ce qui se passe.

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Dans la figure ci-dessous, nous avons représenté le cylindre avec différentes zones de compression et de dilatation ansi que les zones du gaz qui se trouvent à la pression d’équilibre p0. La partie inférieure représente les particules qui se trouvent dans chacune de ces zones ainsi que l’état de leurs mouvements.

Dans les zones du gaz pour lesquelles la pression est celle de l’équilibre, le déplacement des particules (en moyenne) est maximal (en valeur absolue), car si nous considérons un petit élément de volume situé dans cette zone, toutes les particules se déplacent dans le même sens. Dans les zones de dilatation (R) ou celles de compression (C) le déplacement moyen est nul car les déplacements positifs s’annulent avec les déplacements négatifs.

Les deux fonctions sont représentées dans la figure ci-dessous:

La relation entre l’amplitude des deux fonctions est:

Où ρ est la densité du gaz et v est la vitesse de propagation de l’onde dans celui-ci:

La vitesse des ondes sonores dans l’air est approximativement 340 m/s.

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