Ondas longitudinales (ondas sonoras)

Una onda de sonido es una perturbación constituida por una serie de compresiones y rarefacciones que se propaga por un medio material. Las ondas sonoras pueden ser unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. En esta página nos centraremos en el estudio de una onda sonora unidimensional.

Para ver cómo se genera y cómo se describe matemáticamente una onda sonora, imaginemos la situación representada en la figura inferior. Un cilindro de longitud infinita contiene un gas y está cerrado en uno de sus extremos por un pistón. Inicialmente todo el gas está en equilibrio a la misma presión p₀.

Cuando el pistón describe un movimiento armónico simple de amplitud s_m como se indica en rojo en la figura, las partículas que constituyen el gas también describirán un movimiento armónico simple, por lo que habrá zonas en el interior del cilindro que se encontrarán a mayor presión que la de equilibrio denominadas compresiones (en azul oscuro en la figura) y otras a menor presión que la de equilibrio denominadas rarefacciones (en azul claro en la figura). Estas zonas irán oscilando a lo largo del tiempo, por lo que lo que se ha representado en la figura superior es una «foto» del estado del cilindro en un determinado instante.

La onda así generada es armónica (porque está producida por un movimiento armónico simple) y longitudinal, porque las partículas del gas oscilan a derecha e izquierda (en el eje x) y la energía se propaga en la misma dirección.

Matemáticamente, la función de onda de esta onda longitudinal puede describirse de dos formas: bien dando el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen del gas con respecto a su posición de equilibrio, bien describiendo matemáticamente la presión en las distintas zonas del cilindro.

Por analogía con las ondas transversales, el desplazamiento s del elemento de volumen del gas con respecto a su posición de equilibrio viene dado por:

Donde ω es la frecuencia angular de la onda y k el número de ondas, y tienen respectivamente el valor:

T (s) es el período de la onda armónica, y se define como el tiempo que tarda cada elemento de volumen del gas en describir una oscilación completa.

λ (m) es la longitud de onda de la onda armónica, y es la distancia entre dos compresiones o rarefacciones consecutivas.

s_m es la amplitud de la onda sonora: es el máximo desplazamiento del elemento de volumen respecto de su posición de equilibrio.

En términos de la presión, la función de onda de la onda sonora es:

donde Δp_m es la máxima variación de presión con respecto a la presión de equilibrio.

Las dos funciones de onda (en términos de desplazamientos y en términos de las variaciones de presión) están desfasadas π/2. Esto significa que cuando el desplazamiento de un elemento de volumen con respecto a la posición de equilibrio es nulo, la diferencia de presión con respecto a la de equilibrio en ese mismo elemento de volumen es máxima. Este hecho puede entenderse analizando el desplazamiento de las partículas del gas en zonas del cilindro con distintas presiones.

En la figura inferior se ha representado el cilindro con las distintas compresiones y rarefacciones, así como las zonas del gas que se encuentran a la presión de equilibrio p₀. En la parte inferior se han representado las partículas que se encuentran en cada una de estas zonas así como su estado de movimiento.

En las zonas del gas en que la presión es la de equilibrio el desplazamiento de las partículas (en promedio) es máximo (en valor absoluto), ya que, considerando un pequeño elemento de volumen situado en esa zona, todas las partículas se mueven en el mismo sentido. Por el contrario, en las zonas de enrarecimiento (R) y compresión (C) el desplazamiento promedio es nulo puesto que se cancelan los desplazamientos positivos con los negativos.

En la siguiente figura están representadas las dos funciones de onda: