Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple es el que describe una masa sometida a una fuerza recuperadora proporcional a su desplazamiento. Es un movimiento periódico, ya que se repite cíclicamente. Sin embargo, no todo movimiento periódico es armónico simple.

El ejemplo más común de movimiento armónico simple es el que describe una masa sujeta a un muelle que se encuentra dentro de su límite elástico: cuando el muelle es comprimido o estirado, recupera su forma inicial sin experimentar deformaciones permanentes. En este caso, la fuerza que el muelle ejerce sobre la masa viene dada por la ley de Hooke:

Donde x es el desplazamiento de la masa (también la deformación del muelle) y k es la constante recuperadora del muelle.

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En la figura inferior se ha representado una masa m inicialmente en reposo sujeta a un muelle que está apoyada sobre una superficie sin rozamiento. Cuando el muelle no está comprimido ni estirado (a), la fuerza que ejerce sobre la masa es nula, ya que x0, y por tanto la masa no se mueve. Tomaremos el origen de coordenadas de la posición de la masa en x = 0, denominada posición de equilibrio.

Al separar la masa de su posición de equilibrio una distancia x = A (figura b), el muelle ejerce sobre ella una fuerza recuperadora (hacia la izquierda), de tal manera que, si la masa se libera en ese momento, empezará a moverse hacia x = 0. Por tanto en el instante inicial t = 0 la posición de la masa será x = A.

En el momento en que la masa sobrepase la posición x = 0 (figura c), la fuerza que ejerce el muelle sobre ella estará dirigida hacia la derecha (figura (d)), debido al signo negativo en la expresión de la fuerza, y la masa tenderá a volver de nuevo hasta la posición de equilibrio (x = 0). Y este movimiento se repite cíclicamente.

Se denomina amplitud del movimiento armónico simple (A) a la distancia máxima de la masa con respecto a su posición de equilibrio. Como la fuerza del muelle es conservativa, la posición oscilará constantemente entre los valores extremos x = A y x = -A.

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Para determinar la función que describe la posición de la masa en función del tiempo x(t) aplicamos la segunda ley de Newton:

Definimos la frecuencia angular del movimiento como:

Esta ecuación da la relación entre la frecuencia angular, la constante recuperadora del muelle y la masa en movimiento.

Sustituyendo, la segunda ley de Newton queda:

De la ecuación anterior se deduce que la función x(t) debe ser tal que su derivada segunda sea igual a la función (salvo constantes). Se puede comprobar fácilmente que dicha función es:

Podemos representarla gráficamente sobre unos ejes cartesianos:

Se denomina período del movimiento armónico simple (T) al tiempo que tarda la masa en describir una oscilación completa. Se mide en segundos (s).

La frecuencia de un movimiento armónico simple (f) es el número de oscilaciones que la masa describe por unidad de tiempo; sus unidades en el Sistema Internacional son los hertzios (Hz), o s-1:

La frecuencia angular en función del período y de la frecuencia es:

En ciertas situaciones el movimiento armónico simple que describe la masa es tal que su posición en t = 0 no es x = A. En estos casos, la ecuación x(t) debe modificarse para incluir una constante de fase δ expresada en radianes para describir correctamente la posición:

Gráficamente:

La velocidad y la aceleración de la masa se determinan derivando x(t):

En la figura inferior se han representado la posición, la velocidad y la aceleración de un movimiento armónico simple para un valor cualquiera de la constante de fase. En el eje vertical están indicados los valores máximos y mínimos de cada una de las tres magnitudes.

Puedes consultar también la página energía en el movimiento armónico simple.

La página Movimiento armónico simple ha sido originalmente publicada en YouPhysics

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