Mouvement harmonique simple

Une masse (ou particule) soumise à une force de rappel proportionnelle à son déplacement décrit un mouvement harmonique simple. C’est un mouvement périodique car il se répète cycliquement. Cependant, tous les mouvements périodiques ne sont pas des mouvements harmoniques simples.

L’exemple le plus commun de mouvement harmonique simple est celui qui est décrit par une masse accrochée à un ressort dans sa limite d’élasticité (lorsque celui-ci récupère sa forme initiale sans subir de déformation permanente s’il est comprimé ou étiré). Dans ce cas, la force exercée par le ressort sur la masse est donnée par la loi de Hooke:

Où x est le déplacement de la masse (ou la déformation du ressort) et k est la raideur du ressort, aussi appelée constante de rappel.

La figure ci-dessous représente une masse m initialement au repos fixée à un ressort qui se trouve sur une surface sans frottements. Lorsque le ressort n’est ni comprimé ni étiré (figure a), la force qu’il exerce sur la masse est nulle, car x = 0 et par conséquent la masse ne bouge pas. Nous prendrons la position de la masse en x = 0, qui est appelée position d’équilibre, comme origine des coordonnées.

Si nous éloignons la masse d’une distance x = A de sa position d’équilibre (figure b), le ressort exerce une force de rappel (vers la gauche) sur la masse, de tel sorte que si on libère la masse à ce moment, elle commencera à se déplacer vers la gauche. La position de la masse sera par conséquent x = A à l’instant initial t = 0.

Lorsque la masse dépasse la position x = 0 (figure c), la force qu’exerce le ressort sur elle sera dirigée vers la droite (figure d) du fait du signe négatif dans l’expression de la force. Lorsque la masse arrive à la position x = -A, elle repartira vers la droite en direction de la position d’équilibre (x = 0). Et se mouvement se répète cycliquement.

La distance maximale de la masse par rapport à sa position d’équilibre est appelée amplitude du mouvement harmonique simple (A). Comme la force du ressort est conservative, la position de la masse oscillera constamment entre les valeurs extrêmes x = A et x = -A.

Nous appliquerons la deuxième loi de Newton afin de déterminer la fonction qui décrit la position de la masse en fonction du temps x(t):

La fréquence angulaire du mouvement peut être définie comme:

Cette équation nous donne la relation entre la fréquence angulaire, la raideur k du ressort et la masse en mouvement.

En substituant, on peut alors écrire la deuxième loi de Newton de la façon suivante:

À partir de l’équation précédente nous déduisons que la fonction x(t) doit être telle qu’elle soit égale à sa dérivée seconde (en ignorant les constantes). On peut vérifier facilement que la fonction est:

Nous pouvons la représenter graphiquement sur des axes cartésiens:

Le temps que met la masse pour décrire une oscillation complète s’appelle la période du mouvement harmonique simple. Elle est mesurée en secondes (s).

La fréquence d’un mouvement harmonique simple (f) est le nombre d’oscillations que la masse décrit par unité de temps; son unité dans le Système International est le hertz (Hz) ou s^-1:

La fréquence angulaire en fonction de la période et de la fréquence est:

Parfois, le mouvement harmonique simple que décrit la masse est tel que sa position à l’instant t = 0 n’est pas x = A. Il faut alors modifier l’équation x(t) pour inclure une constante de phase δ qui est exprimée en radians afin de décrire correctement la position:

Graphiquement on a:

La vitesse et l’accélération de la masse se déterminent en dérivant x(t):

La position, la vitesse et l’accélération d’une masse dans un mouvement harmonique simple pour une valeur quelconque de la constante de phase sont représentées dans la figure ci-dessous. Les valeurs maximales et minimales de chacune des trois grandeurs sont indiquées sur l’axe vertical.

Nous vous invitons à consulter aussi la page énergie dans un mouvement harmonique simple.

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