Considérons une particule qui décrit une trajectoire curviligne (C) sous l’action d’une force F, tel que cela est représenté dans la figure suivante. Le vecteur déplacement élémentaire dr est tangent à la trajectoire en chaque point et forme un angle θ avec le vecteur force.
Le travail effectué par la force F sur la particule lorsqu’elle se déplace entre les points A et B de sa trajectoire est donnée par:
Comme vous pouvez le constater dans l’expression précédente, le travail est une quantité scalaire et se mesure en Joules (J) dans le Système International.
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En général, le travail effectué par une force dépend de la trajectoire décrite par la particule, car l’angle formé par les vecteurs force et déplacement élémentaire dépend de celle-ci. Cependant, comme nous le verrons plus loin, le travail ne dépend que des points initial et final de la trajectoire lorsque la force est conservative.
Lorsque plusieurs forces agissent sur une particule, le travail total est la somme des travaux des différentes forces.
Énergie cinétique
Nous allons maintenant développer l’expression du travail pour voir quel est son effet sur le mouvement d’une particule.
Tout d’abord, nous développons le produit scalaire contenu dans l’intégrale:
Comme vous pouvez le voir dans la figure suivante, Fcosθ est la projection de la force sur l’axe tangent à la trajectoire:
Et en utilisant la deuxième loi de Newton nous obtenons:
Où nous avons remplacé la norme de l’accélération tangentielle.
Puisque la norme du vecteur déplacement est approximativement égal à l’arc parcouru par la particule:
D’autre part l’énergie cinétique de la particule est:
Par conséquent, le travail de la force se traduit par une variation de l’énergie cinétique de la particule.
Lorsque plusieurs forces agissent sur la même particule:
Énergie potentielle. Forces conservatives
Une force conservative dérive (avec l’opérateur gradient) d’une fonction scalaire, qu’on appelle énergie potentielle.
D’autre part, le travail d’une force conservative ne dépend que des coordonnées initiales et finales de la particule et est égal à l’opposé de la variation de l’énergie potentielle de la force:
Par conséquent, si la force agissant sur une particule est conservative, nous pouvons égaliser les deux méthodes de calcul de son travail:
Et en regroupant, nous obtenons le principe de conservation de l’énergie:
Comme exemple d’énergie potentielle, nous pouvons mentionner celle associée au poids. (énergie potentielle gravitationnelle):
et celle associée à la force de rappel d’un ressort (énergie potentielle élastique):
Les énergies cinétique et potentielle sont mesurées en Joules (J) dans le Système International.
