Vecteurs position, vitesse et accélération

La Cinématique est la partie de la Mécanique qui décrit le mouvement de particules, d’objets ou de groupes d’objets. Dans ces pages, nous analyserons le mouvement d’une particule ponctuelle décrivant une trajectoire quelconque telle que celle représentée en noir dans la figure suivante. Pour simplifier, nous y avons représenté une trajectoire dans un plan, mais cette même trajectoire pourrait être en tridimensionnelle.

Vecteurs position, vitesse et accélération

Dans la figure précédente, nous avons également représenté un référentiel au repos dans lequel l’observateur O se trouve à l’origine des axes cartésiens. Ce référentiel est appelé inertiel (ou galiléen). La direction positive des trois axes cartésiens est indiquée respectivement par les vecteurs unitaires i, j et k. Nous décrirons le mouvement de la particule par rapport à ce référentiel.

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Le mouvement d’une particule est décrit par trois vecteurs: position, vitesse et accélération.

Le vecteur position (représenté en vert sur la figure) va de l’origine du référentiel à la position de la particule. En composantes cartésiennes, il est donné par:

Les composantes du vecteur position sont dépendants du temps car la particule est en mouvement. Afin de simplifier la notation, nous omettrons souvent cette dépendance dans les expressions des vecteurs.

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps:

Ce qui peut aussi être exprimé de la forme suivante:

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire de la particule en tout point de celle-ci.

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse:

Ce qui peut aussi être exprimé de la forme suivante:

Le vecteur accélération est la variation du vecteur vitesse dans le temps. Par conséquent, il doit toujours pointer vers l’intérieur de la trajectoire de la particule, comme indiqué dans la figure.

Dans ces pages, vous trouverez de nombreux problèmes où vous apprendrez à calculer ces trois vecteurs dans différentes situations.


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Le vecteur accélération peut être exprimé en fonction de ses projections dans un référentiel qui se déplace avec la particule et dont les axes sont respectivement tangent et perpendiculaire (ou normal) à la trajectoire de celle-ci en chaque point. Ces projections sont appelées composantes intrinsèques de l’accélération.

composantes intrinsèques de l'accélération

La figure ci-dessus montre que le vecteur accélération peut être exprimée par la somme de ses composantes intrinsèques, appelées respectivement accélération tangentielle et accélération normale (ou centripète):

L’accélération tangentielle est donnée par:

ut est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire en chaque point déterminé en divisant le vecteur vitesse par sa norme:

L’accélération tangentielle fournit des informations sur la variation de la norme du vecteur vitesse.

D’autre part, l’accélération normale (ou centripète) est donnée par:

un est un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire en chaque point et ρ est le rayon de courbure de la trajectoire.

L’accélération normale fournit des informations sur la variation de la direction du vecteur vitesse. Si une particule décrit une trajectoire rectiligne, son rayon de courbure est infini et son accélération normale est donc nulle.

Dans le cas particulier d’une trajectoire circulaire, la norme de l’accélération normale est:

Consultez les différents problèmes que vous trouverez dans ces pages pour apprendre à calculer les composantes intrinsèques de l’accélération.

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