Ondes stationnaires

Une onde stationnaire est un cas particulier d’interférence d’ondes qui a lieu lorsque les ondes qui interfèrent se déplacent en sens contraire. Ce type d’interférence existe par exemple dans les instruments de musique dont les deux deux extrémités des cordes sont fixes. L’onde incidente et l’onde réfléchie se propagent dans le milieu matériel et interfèrent ce qui donne une onde stationnaire.

Pour déterminer la fonction qui décrit l’interférence résultante nous utiliserons le principe de superposition:

L’onde résultante de la superposition de plusieurs ondes est la somme des ondes individuelles.

Nous allons calculer l’onde résultante de l’interférence de deux ondes sinusoïdales de même amplitude, fréquence et longueur d’onde qui se propagent le long d’une corde en sens contraire. Les fonctions qui les décrivent sont respectivement:

Où le signe positif dans l’argument de la fonction sinus de y2 signifie qu’elle se propage dans le sens contraire à y1, A est l’amplitude, ω la fréquence angulaire et k le nombre d’onde.

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En appliquant le principe de superposition, la fonction qui décrit l’onde résultante est:

Pour simplifier l’expression antérieure nous utiliserons la relation trigonométrique suivante:

Où:

Après avoir substitué dans la fonction qui décrit l’onde résultante nous obtenons:

Remarque: nous avons éliminé le signe moins dans le cosinus car c’est une fonction paire.

À partir de l’expression de y(x,t) nous déduisons que chaque point de la corde décrit un mouvement harmonique simple vertical. Cela est dû au fait que la position des points de la corde est décrit par la variable x. Si nous lui donnons une valeur quelconque x0, l’équation du mouvement de ce point sera alors:

Ce qui est effectivement l’équation d’un mouvement harmonique simple.

Nous avons représenté dans la figure suivante la forme de la corde sur laquelle se propage une onde stationnaire à différents instants (chaque instant est représenté avec une couleur différente).

Le point de la corde de coordonnée x0 est représenté en noir dans la figure. Ce point décrit un mouvement harmonique simple d’amplitude 2A sin(kx0).

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On peut observer d’autre part que certains points de la corde (qui sont représentés en rouge) décrivent un mouvement harmonique simple d’amplitude maximale 2 A alors que d’autres (représentés en bleu) sont fixes.

Les points de la corde qui oscillent avec l’amplitude maximale 2A s’appellent des ventres ou anti-nœuds.

La position xA des ventres se détermine en imposant comme condition que le sinus de la fonction soit maximum (ou minimum):

Et en substituant le nombre d’onde k et en isolant on obtient:

où n est un nombre entier.

Les points fixes de la corde s’appellent des nœuds.

La position xN des nœuds se détermine en imposant comme condition que le sinus de la fonction soit nul:

Et en isolant on obtient:

Où n est un nombre entier.

La position des nœuds et des ventres est la même à tout instant. C’est pour cette raison que l’interférence traitée dans cette page s’appelle une onde stationnaire.

Cette page Ondes stationnaires a été initialement publiée sur YouPhysics

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