Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es un caso particular de interferencia de ondas que ocurre cuando las ondas que interfieren viajan en sentidos opuestos. Este tipo de interferencia tiene lugar por ejemplo en los instrumentos de música cuyas cuerdas tienen los extremos fijos. La onda incidente y la reflejada se propagan por el medio material e interfieren, dando lugar a una onda estacionaria.

Para determinar la función de onda resultante de la interferencia utilizaremos el principio de superposición:

La onda resultante de la superposición de dos o más ondas es la suma de las ondas individuales.

Vamos a calcular la onda resultante de la interferencia de dos ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda que viajan por una cuerda en sentidos contrarios. Sus funciones de onda son respectivamente:

donde el signo positivo en el argumento de y2 significa que se propaga en sentido opuesto a y1, A es la amplitud, ω la frecuencia angular y k el número de ondas.

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Aplicando el principio de superposición, la función de onda de la onda resultante es:

Para simplificar la expresión anterior hacemos uso de la siguiente relación trigonométrica:

donde:

Y sustituyendo en la función de onda:

donde se ha eliminado el signo menos dentro del coseno puesto que es una función par.

De la expresión de y(x,t) se deduce que cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple vertical. Ello es debido a que la posición de los puntos de la cuerda está descrita por la variable x. Si le damos un valor cualquiera x0, la ecuación del movimiento de ese punto será:

que es precisamente la ecuación que describe un movimiento armónico simple.

En la siguiente figura se ha representado la forma de la cuerda por la que se propaga la onda estacionaria en distintos instantes de tiempo (cada instante en un color diferente).

En negro en la figura está representado el punto de la cuerda de coordenada x0. Dicho punto describe un movimiento armónico simple de amplitud 2A sin(kx0).

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Por otra parte, en la figura se observa también que algunos puntos de la cuerda (representados en rojo) describen un movimiento armónico simple de amplitud máxima 2 A mientras que otros (representados en azul) no se mueven.

Los puntos de la cuerda que oscilan con amplitud máxima 2A se denominan antinodos o vientres.

La posición xA de los antinodos se determina imponiendo la condición de que el seno que aparece en la función de onda sea máximo (o mínimo):

Y sustituyendo el número de ondas k y despejando se obtiene:

donde n es un número entero.

Los puntos de la cuerda que no se mueven se denominan nodos.

La posición xN de los nodos se determina imponiendo la condición de que el seno que aparece en la función de onda sea cero:

Y despejando:

donde n es un número entero.

La posición de los nodos y de los antinodos es la misma en todos los instantes de tiempo. Por esta razón la interferencia que estamos tratando en esta página se denomina onda estacionaria.

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La página Ondas estacionarias ha sido originalmente publicada en YouPhysics