Lorsque deux ondes sinusoïdales de même amplitude, longueur d’onde et fréquence se propagent en sens contraire le long d’une corde, l’interférence entre elles produit une onde stationnaire.
Dans le cas d’une onde stationnaire certains points de la corde, appelés des nœuds sont immobiles alors que d’autres appelés des ventres ou des anti-nœuds décrivent un mouvement harmonique simple d’amplitude 2A (le double de l’amplitude des ondes sinusoïdales qui interfèrent).
Si en plus la corde est fixé à ses deux extrémités, comme c’est le cas par exemple pour une guitare, l’onde stationnaire se produira uniquement pour certaines valeurs de la fréquence des ondes sinusoïdales qui se propagent le long de la corde, car les extrémités de la corde doivent être des nœuds.
La position d’un nœuds d’une onde stationnaire est donnée par:
Si nous supposons que la longueur de la corde sur laquelle se propage l’onde stationnaire est L. En imposant la condition que l’extrémité de la corde soit un nœuds, on obtient:
Et en utilisant la vitesse de propagation de l’onde on a:
Où n est un nombre entier naturel.
L’expression précédente nous donne les fréquences que doivent avoir les ondes sinusoïdales qui se propagent en sens contraire le long de la corde pour que leur interférence produise une onde stationnaire. Elles sont appelées fréquence naturelles.
D’autre part, la vitesse de propagation des ondes est donnée par:
Où T est la tension de la corde et μ sa masse linéique. Par conséquent, la fréquence des ondes stationnaires dépendra de la tension de la corde et de ses propriétés.
Les différentes valeurs de longueur d’onde (et par conséquent de la fréquence) s’appellent les harmoniques.
Nous avons représenté dans la figure ci-dessus les trois premières harmoniques. La fréquence de résonance la plus basse s’appelle la fréquence fondamentale ou harmonique de premier rang et sa valeur est:
Toutes les fréquences naturelles sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. Les valeurs de n supérieures à 1 produisent les harmoniques suivantes: seconde, troisième, quatrième harmonique, etc…
Timbre et tonalité
En général, lorsque l’on joue d’un instrument, il ne vibre pas avec une seule harmonique mais avec une combinaison des différentes harmoniques permises. Nous pouvons décrire mathématiquement l’onde résultante comme une combinaison des ondes stationnaires de différentes fréquences:
Même en jouant la même note (c’est à dire la même fréquence fondamentale ou tonalité), chaque instrument musical a un son caractéristique qui s’appelle son timbre. Le timbre est le résultant de la superposition des différentes harmoniques, qui auront des amplitudes An différentes pour chaque instrument.
La forme de l’onde sonore émise par un instrument peut être analysée en décomposant les différentes harmoniques qui la constituent. Cette analyse s’appelle l’analyse de Fourier, en honneur au mathématicien et physicien français qui l’a développée.
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