Le gradient d’une fonction (ou champ) scalaire est une fonction vectorielle qui pointe dans la direction de la variation maximale de la fonction scalaire et dont le module est la variation maximale dans cette direction. Il est noté avec le symbole ∇ (appelé nabla, qui signifie harpe en grecque), Le gradient est par conséquent une dérivée directionnelle.
Une fonction scalaire est une fonction qui associe une nombre (un scalaire) à chaque point de l’espace.
Une fonction vectorielle est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de l’espace.
Deux champs scalaires sont représentés dans la figure ci-dessus (celui à gauche a une symétrie circulaire). Comme vous pouvez l’observer dans la figure, la valeur du champ augmente (depuis l’extérieur vers le centre dans la figure de gauche et de la droite à gauche dans celle de droite). Les vecteurs (une fonction vectorielle) représentent le gradient, ils pointent dans la direction où la fonction scalaire croit le plus rapidement.
Un exemple de gradient est la variation de la température dans une pièce. La température est une grandeur scalaire que nous pouvons représenter mathématiquement par une fonction f(x,y,z). Pour chaque point de la pièce de coordonnées (x,y,z), la fonction f renvoie un nombre (la température en ce point).
Supposons pour simplifier que la température ne varie pas avec le temps. Si nous calculons le gradient de f pour un point de coordonnées (x,y,z), la fonction vectorielle nous donne la direction où la température varie le plus rapidement pour ce point. Le module du gradient détermine le taux de croissance de la température dans cette direction.
La façon de calculer le gradient dépend du type de coordonnées utilisées.
Bloqueur de publicité détécté
La connaissance est gratuite, mais les serveurs ne le sont pas. Aidez-nous à maintenir ce site en désactivant votre bloqueur de publicité sur YouPhysics. Merci!
Gradient en coordonnées cartésiennes:
Où le symbole ∂ indique qu’il s’agit de la dérivée partielle de la fonction f par rapport à la variable correspondante. Lorsqu’une fonction scalaire dépend de plusieurs variables, la dérivée partielle par rapport à l’une des variables se calcule en supposant que les autres variables sont constantes.
i, j y k sont les vecteurs unitaires dans les directions de x, y et z respectivement.
Exemple de dérivées partielles d’une fonction scalaire:
Et son gradient:
Bloqueur de publicité détécté
La connaissance est gratuite, mais les serveurs ne le sont pas. Aidez-nous à maintenir ce site en désactivant votre bloqueur de publicité sur YouPhysics. Merci!
Gradient en coordonnées sphériques:
Les coordonnées sphériques sont représentées dans la figure suivante::
El le gradient de la fonction f exprimée en coordonnées sphériques est donné par:
Où ur, uθ et uφ sont les vecteurs unitaires dans les directions de r, θ et φ.
Lorsque la fonction f dépend uniquement de la coordonnée radiale (par exemple l’énergie potentielle électrostatique), l’expression du gradient est:
Où nous avons utilisé le symbole de la dérivée totale au lieu de celui de la dérivée partielle car la fonction f dépend seulement d’une variable (r).
