Grandeurs scalaires et vectorielles

Les grandeurs que nous allons définir et utiliser dans ces prochaines pages sont de deux types: scalaires et vectorielles.

Une grandeur scalaire ou scalaire est déterminée entièrement par sa valeur et ses unités.

Une grandeur vectorielle est déterminée par sa valeur (norme) et ses unités mais possède en plus une orientation (direction et sens).

Le choix d’un scalaire ou d’un vecteur pour représenter une grandeur physique dépend de sa nature intrinsèque: la température, la densité, le volume, la masse, etc… sont des grandeurs définies de manière concise et univoque à l’aide d’un nombre. Au contraire, si les magnitudes que l’on souhaite représenter mathématiquement sont associées à une orientation, comme une force, un vecteur position, une vitesse, une accélération, un champs éléctrique, etc… nous utiliserons un vecteur.

Une grandeur scalaire est représentée en utilisant une lettre et une grandeur vectorielle en utilisant une lettre surmontée d’une flèche (ou parfois avec une lettre en gras sans la flèche).

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Grandeurs vectorielles. Coordonnées cartésiennes

Une grandeur vectorielle (ou tout simplement vecteur) est un segment de droite orienté.

Afin de pouvoir utiliser mathématiquement un vecteur, nous devons quantifier sa norme et exprimer son orientation par rapport à une référence. Nous utiliserons un système de coordonnées pour faire cela.

Le système de coordonnées que nous utiliserons principalement dans ces pages est appelé cartésien. Il est constitué de trois axes en trois dimensions x, yz (deux axes si nous travaillons en deux dimensions) perpendiculaires entre eux et qui se croisent à l’origine. Chacun de ses axes a un sens positif qui, soit est représenté avec un symbole + à coté de l’axe, soit avec un vecteur unitaire.

Dans la figure précédente nous avons représenté un vecteur quelconque a en deux dimensions. Les composantes cartésiennes du vecteur a, ax et ay, sont les projections du vecteur sur les axes x et y:

Pour le vecteur représenté dans cette figure, ces composantes sont respectivement 5 et 4, le vecteur a s’exprime donc ainsi:

À partir des composantes cartésiennes nous pouvons déterminer sa longueur (ou norme) et l’angle qu’il forme avec l’axe horizontal. Ces deux valeurs sont connues comme les coordonées polaires d’un vecteur.

À partir de la figure précédente et en utilisant le théorème de Pythagore nous obtenons:

Observez que la norme d’un vecteur s’écrit soit en utilisant deux barres verticales, soit en écrivant la lettre du vecteur sans la flèche. Les deux notations sont équivalentes.

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En utilisant les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente nous avons:

À partir des relations précédentes nous pouvons transformer les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires et vice-versa.

Pour le vecteur a représenté dans la figure,

Observez que, comme conséquence de l’inégalité triangulaire dans cet exemple nous avons:

Il est important de s’habituer à être rigoureux avec la notation et d’écrire correctement les vecteurs surmontés de leur flèche.

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