Produit scalaire - animation

Soient deux vecteurs a et b qui forment un angle α. Pour simplifier ils sont représentés en deux dimensions dans cette figure:

Le produit scalaire des deux vecteurs est un scalaire (un nombre réel), qui est défini de la façon suivante:

À partir de l’expression précédente nous déduisons que le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.

Le produit scalaire peut être utilisé pour déterminer la projection d’un vecteur sur un autre. Nous allons par exemple calculer la projection de a sur l’axe défini par b.

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La projection d’un vecteur sur un axe quelconque s’obtient en traçant un segment de droite perpendiculaire à l’axe de la projection jusqu’à l’extrémité du vecteur que l’on souhaite projeter. La distance entre le point d’origine du vecteur et le point d’intersection du segment perpendiculaire à l’axe est la projection ab, qui est représenté en rose magenta dans la figure suivante:

Cette projection s’obtient mathématiquement en utilisant la fonction cosinus:

La direction de b est déterminé en calculant le vecteur unitaire ub:

Si nous faisons le produit scalaire de a par ub nous obtenons:

Qui est correspond à la projection de a sur la direction de b.

Le produit scalaire est commutatif:

À partir des résultats précédents nous pouvons déduire les résultats suivants:

Lorsque les vecteurs a et b sont exprimés en fonction de leurs vecteurs constituants, comme cela est indiqué dans la première figure, leur produit scalaire peut être calculé en utilisant les résultats précédents:

Pour terminer, nous pouvons utiliser ces deux formes de calculer le produit scalaire pour déterminer l’angle que forment les deux vecteurs:

Le produit scalaire est utilisé dans la définition du travail d’une force.

Dans l’animation suivante, le vecteur b’ correspond au vecteur b tourné de 90 0. Comme le sinus et le cosinus sont complémentaires, l’aire du parallélogramme formé par a et b’ correspond à la valeur absolue du produit scalaire a · b. Vous pouvez changer les vecteurs a y b et voir le résultat du produit scalaire.

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