Producto escalar – animación

Sean dos vectores a y b que forman un ángulo α. Por simplicidad se han representado en dos dimensiones:

El producto escalar de ambos da como resultado un escalar (un número), que se define:

De la expresión anterior se deduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo.

El producto escalar puede utilizarse para determinar la proyección de un vector sobre la dirección de otro. Como ejemplo vamos a calcular la proyección de a sobre la dirección de b.

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La proyección de un vector sobre un eje cualquiera se obtiene trazando una recta desde el extremo del vector perpendicularmente hasta la dirección sobre la que se quiere proyectar. La distancia resultante sobre dicha recta es la proyección ab, representada en magenta en la figura siguiente.

Matemáticamente esta proyección se obtiene utilizando la función coseno:

La dirección de b se determina calculando el vector unitario ub:

Y si ahora multiplicamos escalarmente a por ub:

Que es precisamente la proyección de a sobre la dirección de b.

El producto escalar tiene la propiedad conmutativa:

De todo lo anterior se deducen los siguientes resultados:

Cuando los vectores a y b están dados en función de sus vectores constituyentes, como se indica en la primera figura, su producto escalar puede calcularse utilizando los resultados anteriores:

Para terminar, podemos utilizar las dos formas de calcular el producto escalar para determinar el ángulo que forman los dos vectores:

El producto escalar se utliza para definir el trabajo de una fuerza.

En la animación siguiente el vector b’ es el vector b rotado un ángulo de 900. Como el seno y el coseno son complementarios, el área del paralelogramo formado por a y b’ es el valor absoluto del producto escalar a · b. Puedes mover los vectores a y b y ver el resultado del producto escalar.

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