Sean los vectores: A = 3i + 2j – k y B = 5i +5j. Calcular:
- El producto escalar A⋅B.
- La proyección de A en la dirección de B.
- El ángulo que forman los vectores A y B.
- Un vector en el plano XY perpendicular a B y de módulo 2.
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Solución:
Cuando trabajes con vectores tienes que acostumbrarte a ser riguroso con la notación y utilizar siempre la flecha encima de cada letra que representa un vector o, como en el caso del enunciado de este problema, escribir dicha letra en negrita.
El producto escalar de dos vectores A y B expresados en función de sus vectores constituyentes viene dado por:
Recuerda que el producto escalar da como resultado un número.
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Para determinar la proyección de A en la dirección de B dividimos el producto escalar que acabamos de calcular por el módulo de B (consulta la página del producto escalar para ver la deducción con más detalle):
Para determinar el ángulo que forman ambos vectores, hacemos uso de la expresión que dedujimos en la página del producto escalar:
Para calcular un vector C perpendicular a B escribimos C en componentes e imponemos la condición de que el producto escalar de ambos sea nulo.
El vector C escrito en función de sus vectores constituyentes es:
El producto escalar de ambos viene dado por:
La ecuación anterior nos da la primera condición que tienen que cumplir las componentes de C. Pero además su módulo debe ser 2 por lo que:
Y sustituyendo la condición dada por el producto escalar:
Por tanto, el vector C expresado en términos de sus vectores constituyentes es:
