Exercices résolus de produit scalaire

Énoncé:

Soient les vecteurs: A = 3i + 2jk et B = 5i +5j.

Calculez:

  1. Le produit scalaire AB.
  2. La projection de A sur la direction de B.
  3. L’angle que forment les vecteurs A et B.
  4. Un vecteur dans le plan XY perpendiculaire à B et de norme 2.

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Solution:

Lorsque l’on travaille avec des vecteurs il faut s’habituer à être rigoureux avec la notation et toujours surmonter d’une flèche les lettres qui représentent des vecteurs ou, comme dans l’énoncé de ce problème, les écrire en gras.

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B exprimé en fonction de ses vecteurs constituants est défini par:

Rappelez vous que le résultat d’un produit scalaire est un nombre réel.


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Pour déterminer la projection de A sur la direction de B, nous divisons le produit scalaire que nous venons de calculer par la norme de B (consultez la page produit scalaire pour voir la déduction avec plus de détailles):


Pour déterminer l’angle que forment les deux vecteurs, nous allons utiliser l’expression que nous avons déduit dans la page produit scalaire:


Pour calculer un vecteur C perpendiculaire à B nous écrivons les composantes de C et nous imposons que le produit scalaire des deux soit nul.

Le vecteur C écrit en fonction de ses vecteurs constituants est:

Le produit scalaire des deux vecteurs est donné par:

L’équation précédente nous donne la première condition de doivent remplir les composantes de C. Comme d’autre part sa norme doit être égale à 2 nous avons:

Et en substituant la condition donnée par le produit scalaire nous obtenons:

Par conséquent, le vecteur C exprimé à partir de ses vecteurs constituants est:

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