Vecteur unitaire

Produit d’un scalaire par un vecteur

Le résultat du produit d’un scalaire par un vecteur est un autre vecteur. Graphiquement:

Le vecteur résultant a une norme égale au produit du scalaire par la norme du vecteur original, il est parallèle au vecteur original si le scalaire est positif et antiparallèle si le scalaire est négatif.

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Mathématiquement:

D’une manière analogue nous pouvons diviser un vecteur par un scalaire, la norme du vecteur résultat sera la norme du vecteur original divisée par le scalaire:

À partir du résultat précédent nous pouvons introduire le concept de vecteur unitaire.

Vector unitaire
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

Il est fréquemment util en Physique de pouvoir calculer un vecteur unitaire à partir d’un vecteur quelconque; cette opération s’effectue en divisant le vecteur par sa norme:

Cette page vous permet de calculer automatiquement un vecteur unitaire à partir d’un vecteur quelconque.

Graphiquement:

Un vecteur unitaire peut s’utiliser aussi pour définir le sens positif d’un axe quelconque. Pour les axes cartésiens xy, z on utilise respectivement les vecteurs i, j y k (ou bien ux, uy et uz):

L’orientation des trois vecteurs unitaires i, j, k peut être changée en fonction de l’orientation du système d’axe cartésiens, mais on ne peut pas changer l’ordre de ces vecteurs.

Vecteurs constituants

Dans les domaines de la Physique et de l’ingénierie il est habituel d’exprimer les vecteurs à partir des vecteurs unitaires i, j, k.

Dans la figure suivante nous avons représenté un vecteur quelconque en deux dimension dans un repère cartésien:

Comme nous l’avons vu dans la page où nous parlons de grandeurs scalaires et vectorielles, leurs composantes sont données par:

Le vecteur a peut s’écrire aussi comme la somme des vecteurs ax et ay représentés respectivement en bleu et vert dans cette figure:

Chacun d’entre eux est le produit de la projection du vecteur a sur l’axe correspondant multiplié par le vecteur unitaire qui définit le sens positif de cet axe:

En conséquence, le vecteur a est donc:

On dit qu’il est exprimé en fonction de ses vecteurs constituants. En trois dimensions, il faudrait rajouter la composante z du vecteur a multipliée par k.

Dans les autres pages de ce site nous exprimerons tous les vecteurs en fonction de leurs vecteurs constituants.

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