Exercices résolus de vecteurs

Énoncé:

Soient les vecteurs A = 3i + 2jk et B = 5i +5j.

Calculez:

  1. La norme de chacun d’entre eux.
  2. L’angle que forme B avec l’axe horizontal.
  3. A + B.
  4. A -2 B.
  5. Un vecteur unitaire dans la direction de A.
  6. Un vecteur opposé à B de norme 2.

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Solution:

Lorsque l’on travaille avec des vecteurs il faut s’habituer à être rigoureux avec la notation et toujours mettre une flèche au dessus de chacune des lettres qui représente un vecteur ou, comme dans l’énoncé de ce problème, écrire ces lettres en gras.

Les vecteurs A et B sont exprimés en fonction de leurs vecteurs constituants.

La norme de A est donnée par:

De la même manière, la norme de B est donnée par:

La norme d’un vecteur est toujours un réel positif.


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Dans la figure suivante, nous avons représenté le vecteur B dans un repère cartésien. Les vecteurs unitaires qui définissent les sens positifs des axes sont en rouge.

Comme nous l’avons déjà expliqué lorsque nous avons introduit les grandeurs scalaires et vectorielles, nous pouvons mettre en relation les composantes d’un vecteur avec l’angle que celui-ci forme avec l’axe horizontal de la façon suivante:


La somme des vecteurs A et B est donnée par:


Pour résoudre le point (d) il suffit de multiplier le vecteur B par -2 (en multipliant chacune de ses composantes) et ajouter le vecteur A:


Pour calculer un vecteur unitaire dans la direction d’un autre on divise celui-ci par sa norme:


Pour calculer un vecteur opposé à B et de norme 2 nous pouvons calculer un vecteur unitaire dans la direction de B puis ensuite le multiplier par -2:

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