Exercices résolus de produit vectoriel

Énoncé:

Soient les vecteurs: A = 3i + 2jk et B = 5i +5j.

Calculez:

  1. Le produit vectoriel A×B.
  2. L’aire du parallélogramme défini par A y B.
  3. Les valeurs des composantes y et z du vecteur C = 2i + Cj +Cz pour qu’il soit parallèle à B.

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Solution:

Lorsque l’on travaille avec des vecteurs il faut s’habituer à être rigoureux avec la notation et toujours surmonter d’une flèche les lettres qui représentent des vecteurs ou, comme dans l’énoncé de ce problème, les écrire en gras.

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur calculé en utilisant le déterminant suivant:

En substituant les valeurs des composantes de A et B on obtient:

Le produit vectoriel de deux vecteurs est toujours perpendiculaire à ces deux vecteurs. Vous pouvez le vérifier en faisant le produit scalaire de chaque vecteur avec le résultat du produit vectoriel. Vous constaterez que les produits scalaires sont effectivement nuls.

En appelant D le produit vectoriel A×B on a:

Et d’une manière similaire pour le vecteur B on a:


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L’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs A et B est la norme du produit vectoriel des deux:


Si le vecteur C est parallèle à B, le produit vectoriel des deux est nul:

En développant le déterminant précédent on obtient:

Pour qu’un vecteur soit nul, ses composantes doivent être nulles, ce qui nous permet de déduire:

Le vecteur C exprimé à partir de ses vecteurs constituants est donc:

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