Gradiente de una función escalar

El gradiente de una función (o campo) escalar es una función vectorial que apunta en la dirección de máxima variación de la función escalar y cuyo módulo es la máxima variación de la misma. Se representa con el símbolo ∇ (llamado nabla, que significa arpa en griego). El gradiente es por tanto una derivada direccional.

Una función escalar es aquella que a cada punto del espacio le asocia un número (un escalar). Una función vectorial es aquella que a cada punto del espacio le asocia un vector.

En la figura superior están representados dos campos escalares (el de la izquierda tiene simetría circular). Como se observa en la figura, el valor del campo va aumentando (desde el exterior hacia el centro en la figura de la izquierda y de derecha a izquierda en la de la derecha). Los vectores (una función vectorial) representan el gradiente, y apuntan en la dirección en que la función escalar varía más rápidamente.

Un ejemplo de gradiente es la variación de temperatura en el interior de una habitación. La temperatura es una magnitud escalar, por lo que podemos representarla matemáticamente mediante una función f(x,y,z). Para cada punto de la habitación, de coordenadas (x,y,z), la función f devuelve un número (la temperatura en dicho punto).

Para simplificar, supongamos que la temperatura no varía con el tiempo. Si calculamos en un punto de coordenadas (x,y,z) el gradiente de f, la función vectorial resultante nos dará en ese punto cuál es la dirección en que la temperatura varía más rápidamente. El módulo del gradiente determinará lo rápidamente que la temperatura aumenta en esa dirección.

La manera del calcular el gradiente depende del tipo de coordenadas que estemos utilizando.

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Gradiente en coordenadas cartesianas:

Donde el símbolo ∂ denota la derivada parcial de la función f con respecto a la variable correspondiente. Cuando una función escalar depende de más de una variable, su derivada parcial con respecto a una de ellas se calcula suponiendo que las otras variables son constantes.

i, j y k son los vectores unitarios en las direcciones de x, y y z respectivamente.

Ejemplo de derivadas parciales de una función escalar:

Y su gradiente:

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Gradiente en coordenadas esféricas:

Las coordenadas esféricas están representadas en la siguiente figura:

Y el gradiente de la función f expresada en coordenadas esféricas viene dado por:

Donde ur, uθ y uφ son los vectores unitarios en las direcciones de r, θ y φ.

Cuando la función f depende únicamente de la coordenada radial (por ejemplo la energía potencial electrostática), la expresión del gradiente es:

Donde se ha empleado el símbolo de derivada total en lugar del de derivada parcial porque ahora la función f sólo depende de una variable (r).

La página Gradiente de una función escalar ha sido originalmente publicada en YouPhysics

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