Movimiento relativo – Cambio de sistema de referencia

Enunciado:

Un chico (O) que está en reposo en un embarcadero a una altura h = 10 m lanza una pelota con una velocidad inicial de módulo v0 = 12 m/s que forma un ángulo α = 600 con la horizontal. Un segundo observador (O’) se encuentra en un barco que se mueve con velocidad horizontal constante de módulo vb = 6 m/s con respecto al chico.

Movimiento relativo - Cambio de sistema de referencia

 

  1. Calcular el vector de posición y el vector velocidad de la pelota en función del tiempo con respecto a O.
  2. Calcular el vector velocidad de la pelota en función del tiempo con respecto a O’.
  3. ¿Qué trayectoria describe la pelota con respecto a O? ¿Y con respecto a O’?
  4. Calcular la aceleración de la pelota con respecto a los dos observadores.
  5. Calcular la distancia horizontal desde el embarcadero a la que la pelota caerá al agua.
  6. Qué distancia horizontal habrá recorrido la pelota con respecto al barco en ese momento?
  7. Si el barco se moviera con una aceleración A = 4 i, ¿qué aceleración tendría la pelota con respecto a él?

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Solución:

La pelota parte del origen del sistema de referencia representado en la figura, por lo que su vector de posición inicial es cero. Su aceleración es la de la gravedad. Teniendo en cuenta el criterio de signos representado en la figura, su vector aceleración es por tanto:

Donde se ha tomado como módulo de la aceleración de la gravedad g = 10 m/s2.

 

El vector velocidad inicial de la pelota se determina a partir de su módulo y del ángulo que forma con el eje horizontal. En este problema tienes representados gráficamente el vector velocidad y sus proyecciones sobre los ejes.

El vector velocidad de la pelota en función del tiempo se obtiene integrando el vector aceleración. Para ver los detalles de cómo se hace esta integral, puedes consultar este problema.

Integrando la expresión anterior y sustituyendo el vector velocidad inicial:

El vector de posición de la pelota con respecto a O se obtiene integrando el vector velocidad:

Integrando:


El barco (O’) es un observador inercial en movimiento relativo de traslación uniforme con respecto a O. Por tanto para calcular el vector velocidad de la pelota con respecto a él utilizaremos la transformación de Galileo para la velocidad:

El vector V es la velocidad del observador O’ con respecto a O. En este problema es la velocidad del barco vb = 6 i.


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Con respecto a O la pelota describirá una trayectoria parabólica y con respecto a O’ una trayectoria vertical. Como puedes observar en la ecuación anterior, la velocidad solamente tiene componente vertical para este observador.


La aceleración de la pelota es la misma para los dos observadores ya que ambos son inerciales. Dicha aceleración es la de la gravedad.


La distancia desde el embarcadero cuando la pelota cae al agua se determina utilizando el vector de posición de la misma calculado con respecto a O. A continuación escribimos las dos componentes de dicho vector:

Cuando la pelota llegue al agua, la coordenada vertical y de su posición será igual a -h. Imponiendo esta condición a y se obtiene un polinomio de segundo grado. A continuación se obtienen sus raíces y nos quedamos con la positiva, ya que estamos calculando un tiempo.

La distancia al embarcadero se obtiene sustituyendo este tiempo en la ecuación de la coordenada x del vector de posición de la pelota:


Como la pelota describe un movimiento vertical con respecto al barco, la distancia horizontal que recorre con respeto a él será nula hasta que caiga en el agua.


Si el barco se mueve con una aceleración A, O’ será un observador no inercial. Por tanto la aceleración de la pelota con respecto a él será:

Y el movimiento de la pelota con respecto a él ya no será rectilíneo vertical.

La página Movimiento relativo – Cambio de sistema de referencia ha sido originalmente publicada en YouPhysics