Mouvement relatif - Changement de référentiel

Énoncé:

Un enfant (O) au repos sur un quai se trouve à une hauteur h = 10 m. Il tire dans un ballon avec un vecteur vitesse initiale de norme v0 = 12 m/s qui forme un angle α = 600 avec l’horizontale. Un deuxième observateur (O’) se trouve dans un bateau qui se déplace avec une vitesse horizontale constante de norme vb = 6 m/s par rapport à l’enfant.

Mouvement relatif - Changement de référentiel

 

  1. Calculez le vecteur position et le vecteur vitesse du ballon en fonction du temps par rapport à O.
  2. Calculez le vecteur vitesse du ballon en fonction du temps par rapport à O’.
  3. Quelle trajectoire décrit le ballon par rapport à O? Et par rapport à O’?
  4. Calculez l’accélération du ballon par rapport aux deux observateurs.
  5. Calculez la distance horizontale parcourue par le ballon depuis le quai avant de tomber à l’eau.
  6. Quelle distance horizontale aura parcouru le ballon par rapport au bateau à ce moment.
  7. Si le bateau se déplaçait avec une accélération A = 4 i, quelle accélération aurait le ballon par rapport à lui?

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Solution:

Le ballon part de l’origine du référentiel représenté dans la figure, par conséquent son vecteur position initiale est le vecteur nul. Son accélération est celle de la gravité. En utilisant l’orientation des axes de la figure, son vecteur accélération est donc:

Avec g = 10 m/s2 pour la norme de l’accélération de la gravité.

 

Le vecteur vitesse initiale du ballon se détermine à partir de sa norme et de l’angle qu’il forme avec l’axe horizontal. Vous pouvez consulter ce problème pour voir une représentation graphique du vecteur vitesse et de sa projection sur les axes.

Le vecteur vitesse du ballon en fonction du temps s’obtient en intégrant le vecteur accélération. Vous pouvez consulter ce problème pour voir les détailles du calcul de cette intégrale.

En intégrant l’expression ci-dessus et en substituant le vecteur vitesse initiale on obtient:

Le vecteur position du ballon par rapport à O s’obtient en intégrant le vecteur vitesse:

Et en intégrant on obtient:


La bateau (O’) est un observateur inertiel en mouvement relatif de translation uniforme par rapport à 0. Par conséquent pour calculer le vecteur vitesse du ballon par rapport au bateau nous utilisons la transformation de Galilée pour la vitesse:

Le vecteur V est la vitesse de l’observateur O’ par rapport à O. Dans ce problème c’est la vitesse du bateau vb = 6 i.


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Le ballon décrit une trajectoire parabolique par rapport à O et une trajectoire verticale par rapport à O’ car le vecteur vitesse a uniquement la composante verticale pour cet observateur.


L’accélération du ballon est la même pour les deux observateurs car ils sont inertiels. Cette accélération est celle de la gravité.


La distance parcourue par le ballon depuis le quai lorsqu’il tombe à l’eau se calcule en utilisant son vecteur position par rapport à O. Les composantes de ce vecteur sont:

Lorsque le ballon tombe à l’eau, la coordonnée verticale y de sa position est égale à -h par rapport à O. En imposant cette condition à y on obtient un polynôme du second degré. Nous conservons uniquement la racine positive de ce polynôme car nous calculons le temps écoulé depuis tire du ballon:

La distance parcourue depuis le quai s’obtient en substituant ce temps dans l’équation de la coordonnée x du vecteur de position du ballon:


Comme le ballon a une trajectoire verticale par rapport au bateau, la distance horizontale qu’il parcourt par rapport à lui sera nulle jusqu’à ce qu’il tombe à l’eau.


Si le bateau se déplaçait avec une accélération A, O’ serait un observateur non inertiel. Par conséquent l’accélération du ballon par rapport à lui serait:

Et le mouvement du ballon par rapport à lui ne serait plus rectiligne.

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