Mouvement relatif - Rotation de la Terre et accélération centrifuge

Énoncé:

Déterminez le vecteur accélération centrifuge (en indiquant sa norme, sa direction et son sens) pour les points A, B, C et D de la Terre (que nous considérons sphérique et de rayon RT). La Terre tourne avec une vitesse angulaire ω constante. Donnez les résultats en utilisant les données du problème.

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Solution:

Accélération centrifuge

L’accélération centrífuge est donnée par:

ω est la vitesse angulaire de la Terre et r est le vecteur position du point où nous la calculons par rapport à O’ (l’origine d’un référentiel non inertiel qui tourne avec la Terre).

Nous allons calculer la norme de l’accélération centrifuge pour un point quelconque P de la Terre qui se trouve à une latitude λ (représenté dans la figure ci-dessous).

 

Dans un premier temps nous allons voir quelle est la direction et le sens du deuxième produit vectoriel ω ⨉ r qui apparait dans l’expression précédente . Pour faire cela nous utilisons la règle du tire bouchon:

règle du tire bouchon

 

Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’intérieur (représenté en bleu dans la figure).

Observez le symbole bleu ⊗ à droite du produit vectoriel. C’est une façon alternative de représenter un vecteur perpendiculaire au plan défini par ω et r et qui pointe vers l’intérieur. Nous utiliserons ces deux notations indifféremment.

Dans la figure précédente nous observons aussi que l’angle formé par les deux vecteurs ω et ω r est de 900. Nous utiliserons cette information pour calculer la norme du vecteur accélération centrifuge.

La norme du vecteur accélération centrifuge se calcule à partir de la définition suivante:

Cette expression se développe en deux étapes. Dans un premier temps nous calculons la norme du premier produit vectoriel, en prenant en compte que, comme nous l’avons vu dans la figure ci-dessus, l’angle formé par les vecteurs ω et ωr est de 900:

Puis nous calculons la norme du deuxième produit vectoriel ω ⨉ r. L’angle que forment ω et r est 90-λ:

La norme de r est le rayon de la Terre RT. En le remplaçant dans l’expression précédente, on obtient:

L’expression (1) nous permet de calculer la norme de l’accélération centrifuge pour n’importe quel point de la superficie de la Terre. Observez qu’aux pôles (λ = ± 900) l’accélération centrífuge es nulle. D’autre part à l’équateur (λ = 00) la norme atteint sa valeur maximale.

Nous calculons maintenant le vecteur accélération centrifuge pour les différents points de la Terre représentés dans la figure de l’énoncé.

Point A: C’est le pôle Nord; À partir de l’équation (1) nous déduisons que l’accélération centrifuge est nulle car la latitude en ce point est de 900.


Point B: La latitude est λ au point B, l’équation (1) nous donne directement la norme du vecteur accélération centrifuge. Pour déterminer la direction et le sens nous utilisons la règle du tire-bouchon. Nous l’avons déjà utilisé précédemment pour déterminer la direction et le sens du vecteur ω ⨉ r. Nous allons l’appliquer maintenant pour déterminer la direction et le sens de (ω ⨉ (ω ⨉ r)):

règle du tire bouchon

Comme vous pouvez le constater dans la figure précédente, la main droite est orientée de telle façon que les doigts pointent dans le sens du premier vecteur du produit vectoriel (ω) et elle se ferme sur le deuxième vecteur (ω ⨉ r) qui est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’intérieur. Le pouce nous donne le sens de ce produit vectoriel.

Le signe moins qui apparait dans l’expression du vecteur accélération centrifuge change le sens du vecteur. En prenant en compte la norme du vecteur déterminée en utilisant l’équation (1), l’accélération centrifuge au point B est:


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Point C: La latitude au point C est aussi λ mais cette fois-ci dans l’hémisphère Sud. La norme du vecteur accélération centrifuge se calcule à partir de l’équation (1). Sa direction et son sens se déterminent en utilisant la règle du tire-bouchon. Le sens du vecteur ωr est le même que pour le point B, et par conséquent celui du vecteur accélération centrifuge aussi. Essayez de le faire pour vous entrainer.

Le vecteur accélération centrifuge au point C est donc aussi:


Point D: Le point D se trouve à l’équateur. Nous allons représenter les vecteurs ω et r pour cette situation, ainsi que le produit vectoriel ω ⨉ r en utilisant la règle de la main droite:

règle du tire bouchon

Nous avons représenté le résultat du produit vectoriel (en bleu) dans la figure ci-dessus de deux façon différentes: le vecteur qui pointe dans le sens du vecteur unitaire k et avec le symbole d’un point dans un cercle (en bleu à droite du produit vectoriel). Ces deux formes sont équivalentes.

Nous déduisons le sens du vecteur ω ⨉ (ωr) en utilisant de nouveau la règle du tire-bouchon:

règle du tire bouchon

Le signe moins qui apparait dans l’expression de l’accélération centrifuge change le sens du vecteur.

La latitude au point D est zéro. Nous utilisons l’expression (1) pour calculer la norme du vecteur et la figure ci-dessus pour déterminer sa direction et son sens, et nous obtenons ainsi le vecteur accélération centrifuge au point D:

Comme nous l’avions indiqué plus haut, il a ici sa valeur maximale.

Pour terminer nous représentons l’accélération centrifuge pour les différents points de la figure de l’énoncé (les vecteurs ne sont pas représentés à l’échelle):

accélération centrifuge - latitude

L’accélération centrifuge s’appelle ainsi car, comme vous avez pu le constater dans ce problème, elle pointe toujours vers l’extérieur de la Terre.

 

 

 

 

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