Movimiento relativo – Rotación de la Tierra y aceleración centrífuga

Enunciado:

Para los puntos A, B, C y D de la  Tierra (supuesta esférica y de radio RT) representados en la figura, determinar el vector aceleración centrífuga (indicando módulo, dirección y sentido). La Tierra rota con velocidad angular ω constante. Dar los resultados en función de los datos del problema.

Movimiento relativo - Rotación de la Tierra y aceleración centrífuga

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Solución:

Aceleración centrífuga

La aceleración centrífuga viene dada por:

Donde ω es la velocidad angular de la Tierra y r es el vector de posición del punto donde estamos calculándola con respecto a O’ (origen del sistema de referencia no inercial que rota con la Tierra).

Vamos a calcular el módulo de la aceleración centrífuga en un punto cualquiera P de la Tierra que está a una latitud λ, como se muestra en la siguiente figura:

 

En primer lugar vamos a ver cuáles son la dirección y el sentido del segundo producto vectorial que aparece en la expresión anterior,  ω ⨉ r. Para ello utilizamos la regla de la mano derecha:

regla de la mano derecha

 

El producto de los dos es perpendicular al plano de la pantalla y hacia adentro (representado en azul en la figura).

Observa el símbolo azul que está escrito a la derecha del producto vectorial, ⊗. Es una manera alternativa de representar un vector perpendicular al plano que generan ω que apunta hacia adentro. Utilizaremos indistintamente una u otra.

En la figura anterior también se observa que el ángulo formado por los vectores ω ω  r es de 900. Utilizaremos este dato para calcular el módulo de la aceleración centrífuga.

El módulo de la aceleración centrífuga se calcula partiendo de la definición :

Esta expresión se desarrolla en dos etapas. En primer lugar calculamos el módulo del primer producto vectorial, teniendo en cuenta que, como hemos visto en el dibujo anterior, el ángulo formado por los vectores ω ω ⨉ r es de 900:

A continuación se calcula el módulo del segundo producto vectorial, ω ⨉ r. El ángulo que forman ω es 90-λ:

El módulo de es el radio de la Tierra RT. Sustituyendo en la expresión anterior:

La expresión (1) nos permite calcular el módulo de la aceleración centrífuga en cualquier punto de la superficie de la Tierra. Observa que en los polos (λ = ± 900) la aceleración centrífuga es nula. Por otra parte en el Ecuador (λ = 00) el módulo alcanza su valor máximo.

A continuación calcularemos el vector aceleración centrífuga para cada uno de los puntos de la Tierra representados en la figura que acompaña al enunciado del problema.

Punto A: Es el polo Norte; de la ecuación (1) se deduce que la aceleración centrífuga es nula porque la latitud en ese punto es de 900.


Punto B: En el punto B la latitud es λ , por lo que la ecuación (1) nos da directamente el módulo de la aceleración centrífuga. Para determinar su dirección y sentido utilizamos la regla de la mano derecha. Ya habíamos utilizado anteriormente la regla de la mano derecha para determinar cuál es la dirección y sentido del vector ω ⨉ r. Ahora volvemos a aplicarla para determinar la dirección y sentido de (ω ⨉(ω ⨉ r)):

regla de la mano derecha

Como puedes ver en la figura anterior, la mano derecha se orienta de modo que los dedos apunten en el sentido del primer vector que queremos multiplicar (ω) y se cierra sobre el segundo (ω ⨉ r) que es perpendicular a la pantalla y hacia adentro. El dedo pulgar nos da el sentido del producto vectorial de ambos.

El signo menos que aparece en la aceleración centrífuga invierte el sentido del vector. Teniendo en cuenta también el valor de su módulo dado por la ecuación (1), la aceleración centrífuga en el punto B es:


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Punto C: En el punto C la latitud es λ pero en el hemisferio Sur. El módulo de la aceleración centrífuga viene dado por la ecuación (1). Su dirección y sentido vienen dados por la regla de la mano derecha. El sentido del vector ω  r es el mismo que en el punto B, y el del vector aceleración centrífuga también. Inténtalo tú para practicar.

La aceleración centrífuga en el punto C viene dada por:


Punto D: El punto D está en el Ecuador. A continuación vamos a representar los vectores ω para esta situación, así como el producto ω ⨉ utilizando la regla de la mano derecha:

regla de la mano derecha

Observa que en la figura anterior hemos representado el producto vectorial (en azul) de dos formas distintas: el vector que apunta en el sentido del vector unitario k y un punto encerrado en un círculo. Las dos formas son equivalentes.

Finalmente debemos determinar el sentido del vector  ω ⨉ (ω ⨉ r) utilizando de nuevo la regla de la mano derecha:

regla de la mano derecha

El signo menos que aparece en la expresión de la aceleración centrífuga invierte el sentido del vector.

La latitud en el punto D es cero. Utilizando la expresión (1) para el módulo y la figura anterior para la dirección y el sentido, el vector aceleración centrífuga en el punto D viene dado por:

Que, como indicamos más arriba, es el valor máximo.

Para terminar vamos a representar la aceleración centrífuga en todos los puntos de la Tierra indicados en el enunciado del problema (los vectores no están representados a escala):

Aceleración centrífuga - latitud

La aceleración centrífuga tiene ese nombre porque, como has podido ver en este problema, apunta siempre hacia afuera de la Tierra.

La página Movimiento relativo – Rotación de la Tierra y aceleración centrífuga ha sido originalmente publicada en YouPhysics