Movimiento relativo – Lanzamiento de un balón de rugby

Enunciado:

Un jugador de rugby (A) que se mueve con velocidad constante vA medida con respecto a un sistema de referencia en reposo con origen en O lanza el balón para que lo recoja otro jugador (B) que corre detrás de él con velocidad constante vB = 9 i (m/s) con respecto al mismo sistema de referencia (ver figura). Con respecto a A, la velocidad inicial del balón es v’0 = -12 i + 5 j (m/s) . Con respecto a O, dicha velocidad inicial es v0 = -5 i + 5 j (m/s).

Movimiento relativo - Lanzamiento de un balón de rugby

  1. Determinar la velocidad vA del jugador A con respecto a O.
  2. ¿Qué aceleración lleva el balón con respecto al jugador A? ¿Y con respecto a O?

Si el jugador A lanza el balón desde una altura inicial y0 = 1.6 m determinar:

  1. la distancia inicial x0 entre ambos jugadores para que el jugador B recoja el balón a una altura y = 1.3 m.
  2. el vector velocidad del balón en el instante en que B lo recoge con respecto a O.
  3. las componentes intrínsecas de la aceleración del balón en el punto más alto de su trayectoria.

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Solución:

En este problema los dos sistemas de referencia, el que se encuentra en reposo en el suelo (O) y el jugador A son inerciales. Vamos a utilizar por tanto la transformación de Galileo para determinar la velocidad del jugador A con respecto a O. La expresión general de la transformación de Galileo para las velocidades es:

Donde V es la velocidad del sistema de referencia en movimiento relativo de traslación uniforme (en este caso es la velocidad vA del jugador A) con respecto a O.

Podemos aplicar entonces la ecuación anterior utilizando la velocidad inicial del balón calculada por ambos observadores:

Y sustituyendo ambas velocidades:


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La aceleración de la pelota para ambos observadores es la de la gravedad g; puesto que ambos son inerciales cualquier objeto tiene la misma aceleración para ellos.


Para que el jugador B recoja la pelota la coordenada x del vector de posición de ambos debe ser la misma medida con respecto a O. Por tanto vamos a escribir la ecuación de la coordenada x del vector de posición del corredor y de la pelota para poder después igualarlas.

Pelota:

La pelota describe un movimiento parabólico. Por tanto, las coordenadas x e y de su vector de posición utilizando los ejes representados en la figura son:

Y sustituyendo los datos suministrados en el enunciado del problema:

Por otra parte, la distancia recorrida por el jugador B viene dada por:

Igualando:

Para determinar el tiempo que la pelota está en el aire utilizamos el dato que nos dice que el jugador B recoge la pelota a una distancia y = 1.3 m del suelo:

Y finalmente sustituyendo en la expresión de x0:


Para determinar la velocidad del balón con respecto a O en el instante en que el jugador B lo recoge escribimos en primer lugar las componentes de dicho vector velocidad en función del tiempo:

Además en el apartado anterior hemos calculado el tiempo que el balón está en el aire (t = 1.05 s), por lo que podemos sustituirlo en las componentes de la velocidad del balón:


En la siguiente figura está representada la trayectoria del balón así como los ejes tangente (t) y perpendicular (n) a la misma en su punto más alto. La aceleración total del balón es la de la gravedad (puesto que describe un movimiento parabólico).

En el punto más alto de la trayectoria la aceleración total no tiene proyección sobre el eje tangente a la misma, por lo que la aceleración tangencial en ese punto es nula. Como la aceleración total (g) está sobre el eje perpendicular a la trayectoria, la aceleración normal será igual a la aceleración de la gravedad.

En este problema se ha tomado g = 10 m/s2.

No olvides poner las unidades en los resultados del problema.

La página Movimiento relativo – Lanzamiento de un balón de rugby ha sido originalmente publicada en YouPhysics