Mouvement relatif - Lancé d'un ballon de rugby

Enoncé:

Un joueur de rugby (A) court avec une vitesse constante vA par rapport à un référentiel au repos d’origine O. Il lance le ballon en direction d’un autre joueur (B) qui court derrière lui avec une vitesse constante vB = 9 i (m/s) par rapport au même référentiel afin que celui-ci attrape le ballon au vol. La vitesse du ballon par rapport à A est v’0 = -12 i + 5 j (m/s). Par rapport à O, cette vitesse est v0 = -5 i + 5 j (m/s).

Mouvement relatif - Lancé d'un ballon de rugby

  1. Déterminez la vitesse vA du joueur A par rapport à O.
  2. Quelle est l’accélération du ballon par rapport au joueur A? Et par rapport à O?

Si le joueur A lance le ballon depuis une hauteur initiale y0 = 1,6 m déterminez:

  1. la distance initiale x0 entre les deux joueurs pour que le joueur B attrape le ballon à une hauteur y = 1,3 m.
  2. Le vecteur vitesse du ballon par rapport à O à l’instant où le joueur B attrape le ballon.
  3. les composantes intrinsèques de l’accélération du ballon au point le plus haut de sa trajectoire.

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Solution:

Les deux référentiels, celui qui est au repos au sol (O) et celui du joueur A, sont inertiels dans ce problème. Nous allons donc utiliser la transformation de Galilée pour déterminer la vitesse du joueur A par rapport à O. L’expression générale de la transformation de Galilée pour les vitesses est:

V est la vitesse du référentiel en mouvement relatif de translation uniforme (dans ce cas la vitesse vA du joueur A) par rapport à O.

Nous pouvons appliquer l’équation précédente en utilisant la vitesse initiale du ballon calculée pour chacun des observateurs:

Et en remplaçant ces deux vitesses nous obtenons:


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L’accélération du ballon pour les deux observateurs est la gravité g; comme les deux sont inertiels n’importe quel objet a la même accélération pour eux.


La coordonnée x du vecteur position du joueur B et du ballon doit être la même par rapport à O pour que le joueur B attrape le ballon. Nous allons par conséquent écrire l’équation de la coordonnée x du vecteur position du joueur B et celle du ballon afin du pouvoir ensuite les égaliser.

Ballon:

Le ballon décrit un mouvement parabolique. Les coordonnées x et y de son vecteur position dans le référentiel de la figure sont par conséquent:

Et après avoir substitué avec les données de l’énoncé on obtient:

D’autre part, la distance parcourue par le joueur B est donnée par:

En égalisant on obtient:

Pour déterminer combien de temps le ballon est en l’air nous utilisons la donnée de l’énoncé qui nous dit que le joueur B récupère le ballon à une distance y = 1,3 m du sol:

Finalement en substituant dans l’expression de x0 on obtient:


Pour déterminer la vitesse du ballon par rapport à O à l’instant où il est attrapé par le joueur B nous écrivons tout d’abord les composantes de ce vecteur vitesse en fonction du temps:

Comme nous avons calculé précédemment combien de temps le ballon est en l’air (t = 1,05 s), nous pouvons le substituer dans les composantes de la vitesse du ballon:


Nous avons représenté dans la figure suivante la trajectoire du ballon ainsi que les axes tangent (t) et perpendiculaire (n) à la trajectoire au point le plus haut de celle ci. L’accélération totale du ballon est celle de la gravité (car il a un mouvement parabolique).

L’accélération totale n’a pas de projection sur l’axe tangent à la trajectoire au point le plus haut de celle ci, elle est donc nulle en ce point. Comme l’accélération totale (g) se trouve sur l’axe perpendiculaire à la trajectoire, l’accélération normale est égale à celle de la gravité.

Nous avons utilisé g = 10 m/s2 dans ce problème.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats du problème

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