Mouvement relatif - La voiture et la pluie

Énoncé:

Une voiture roule sur une route un jour sans vent avec une vitesse contante vC mesurée par rapport à un référentiel inertiel O qui est au repos sur le sol (voir la figure). Le conducteur O’ de la voiture observe qu’une goutte de pluie tombe par rapport à lui avec une vitesse initiale de: v’0 = – 30 i – 25 j (m/s). La vitesse initiale de la goute est v0 = – 25 j (m/s) par rapport à O. La goutte se trouve initialement à une hauteur h = 20 m du sol.

Mouvement relatif - La voiture et la pluie

Calculez:

  1. La vitesse v de la voiture par rapport à O.
  2. L’accélération de la goutte par rapport aux deux observateurs.
  3. Le temps que met la goutte pour tomber au sol pour les deux observateurs.
  4. Quelle trajectoire décrit la goutte par rapport à O? Et par rapport à O’?
  5. La vitesse de la goutte pour les deux observateurs lorsqu’elle tombe au sol.

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Solution:

Pour calculer la vitesse de la voiture nous allons appliquer la transformation de Galileo des vitesses pour la vitesse initiale de la goutte.

Dans ce problème nous connaissons v et v’ et nous devons calculer V, la vitesse du référentiel en mouvement de translation uniforme par rapport au référentiel au repos. C’est ici la vitesse vC de la voiture par rapport à O.


Comme les deux observateurs sont inertiels, la goutte a la même accélération (celle de la gravité) pour les deux:


La goutte décrit un mouvement vertical de chute libre depuis une hauteur h = 20 m par rapport à O, avec une vitesse initiale v0 = – 25 j.

L’équation de la position dans un mouvement de chute libre est:

Remarquez que la vitesse initiale de la goutte est négative par rapport à l’orientation de l’axe y.

En substituant avec les données de l’énoncé, on obtient:

Lorsque la goute arrive au sol la coordonnée y de sa position est nulle. En imposant cette condition dans l’équation précédente et en utilisant la racine positive du polynôme de second degré on obtient:

Le temps mis par la goutte pour arriver au sol est le même pour les deux observateurs car en mécanique classique le temps s’écoule de la même manière pour tout les observateurs.

La goutte décrit une trajectoire parabolique par rapport à O’ car la vitesse initiale de celle ci par rapport à lui a une composante horizontale et une composante verticale et la seule accélération est celle de la gravité.


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Par rapport à O la vitesse finale de la goutte est celle déterminée par un mouvement de chute libre:

Et en substituant avec la durée de la chute de la goutte on obtient:

Où le signe moins signifie que cette vitesse est orientée dans le sens négatif de l’axe vertical.

Pour calculer la vitesse de la goutte par rapport à O, nous pouvons utiliser la transformation de Galilée pour les vitesses:

Pour résoudre ce problème nous avons utilisé g = 10 m/s2. N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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