Mouvement relatif - La barque et la rivière

Énoncé:

Une rivière a une largeur d =40 m. La vitesse constante du courant par rapport à un observateur O au repos sur la berge est vA = – 6 i (m/s). Un barque traverse la rivière depuis le point A d’une des berges jusqu’au point B de l’autre berge (voir la figure). La barque se déplace avec une vitesse v’B = 4 j (m/s) par rapport au courant. D’autre part, un cycliste traverse la rivière sur un pont avec une vitesse constante  vC = 2 j (m/s) mesurée par rapport à O.

Mouvement relatif - La barque et la rivière

Calculez:

  1. La vitesse de la barque par rapport à O.
  2. La vitesse de la barque par rapport au cycliste.
  3. Le temps que mettra la barque pour traverser la rivière.
  4. La distance entre les points A et B.
  5. Si le courant avait une vitesse double, combien de temps mettrait la barque pour traverser la rivière?

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Solution:

Dans ce problème nous avons les vitesses par rapport à deux référentiels différents: Celui qui se trouve sur la berge (O) et un autre que se déplace avec le courant de la rivière que nous appellerons O’. Ce dernier se déplace avec une vitesse constante par rapport à O, ce qui signifie que nous sommes dans une situation de mouvement relatif de translation uniforme. Pour résoudre ce problème nous utiliserons les transformations de Galilée.

Concrètement, la transformation de Galilée pour les vitesses est:

v est la vitesse mesurée par l’observateur au repos et v’ est celle mesurée par l’observateur en mouvement de translation uniforme par rapport au premier.

Dans l’équation précédente, v est la vitesse de la barque par rapport à O et v’ est celle de la barque par rapport au courant (dans l’énoncé du problème c’est v’B). La vitesse V est celle d’un observateur par rapport à un autre (dans ce problème c’est la vitesse vA du courant par rapport à O).

En appliquant la transformation de Galilée pour les vitesses aux données du problème nous obtenons:

Et en substituant avec les valeurs des vitesses, nous obtenons:


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Pour calculer la vitesse de la barque par rapport au cycliste nous utilisons une nouvelle fois la transformation de Galilée pour les vitesses, mais cette fois-ci, l’observateur en mouvement O’ est le cycliste. Par conséquent l’équation qui fait le lien entre la vitesse de la barque mesuré par O et celle du cycliste est:

En substituant avec les données du problème. la vitesse de la barque par rapport au cycliste est:


Pour calculer le temps que met la barque à traverser la rivière, nous disposons de la largeur de la rivière et de la composante y de la vitesse de la barque par rapport à O. Comme celle-ci est constante, la relation entre la distance parcourue par la barque en ligne droite entre les deux berges, sa vitesse pour cet axe et le temps qu’elle met est:


Une fois calculé le temps que met la barque pour traverser la rivière, nous pouvons utiliser cette information pour calculer la distance horizontale qu’elle a parcouru dans le même temps, car nous connaissons la composante horizontale de sa vitesse:

En utilisant le théorème de Pythagore nous calculons la distance entre les points A et B:


Si le courant avait une vitesse double, la barque mettrait le même temps pour traverser la rivière, car la composante y de sa vitesse ne change pas. La distance horizontale x parcouru durant ce temps serait par contre plus élevée.

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