Mouvement relatif - Problème du carrousel

Énoncé:

Un carrousel de rayon R tourne avec une vitesse angulaire ω constante. Un enfant tire un ballon avec une vitesse initiale v’ depuis le centre du carrousel en direction d’un observateur O’ qui se trouve sur le bord du carrousel. Un autre observateur O est au repos sur le sol à l’extérieur du carrousel (voir la figure).

Mouvement relatif - Problème du carrousel

Déterminez en utilisant les données du problème:

  1. l’accélération de Coriolis (sa norme, sa direction et son sens) du ballon au moment du tire.
  2. l’accélération centrifuge (sa norme, sa direction et son sens) du ballon à ce moment.
  3. Quelle trajectoire décrit le ballon par rapport à O? Et par rapport à O’?

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Solution:

Vous trouverez dans cette page la déduction de l’accélération de Coriolis et de l’accélération centrifuge.

L’accélération de Coriolis est donnée par:

ω  est la vitesse angulaire du carrousel et v’ la vitesse du ballon par rapport à O’, l’observateur qui tourne avec le carrousel. Cet observateur est non inertiel car il a un mouvement de rotation.

Dans un premier temps nous allons déterminer la direction et le sens du vecteur ωv’. Le sens de l’accélération de Coriolis est opposé à celui de ce vecteur du fait du signe négatif qui apparait dans sa définition.

Pour que l’application de la règle du tire-bouchon soit plus facile, nous utilisons une représentation latérale du carrousel.

Le vecteur ωv’ est perpendiculaire au plan de l’écran et est orienté vers l’intérieur (il a pour sens –k).

La norme de l’accélération de Coriolis est:

car les vecteurs ω et v’ son perpendiculaires.

Finalement, le vecteur accélération de Coriolis pour le ballon est:


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L’accélération centrifuge du ballon est donnée par:

ω  est la vitesse angulaire du carrousel et r le vecteur position du ballon par rapport à O’.

Dans un premier temps nous déterminons la direction et le sens du vecteur ωr en utilisant la règle du tire-bouchon:

Nous multiplions ensuite ω par ω r en utilisant à nouveau la règle du tire-bouchon pour obtenir:

Le vecteur accélération centrifuge a un sens opposé au résultat du produit ci-dessus (en vert dans la figure) car le signe moins dans sa définition change le sens.

D’autre part, la norme de l’accélération centrifuge se calcule en deux étapes. Dans un premier temps nous déterminons la norme du premier produit vectoriel:

Puis celle du deuxième:

Finalement, on obtient le vecteur accélération centrifuge:

qui pointe vers le sens négatif de l’axe x (-i).


Le ballon a une trajectoire rectiligne par rapport à O et une trajectoire en forme de spirale par rapport à O’.

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