Mouvement relatif - Rotation de la Terre et accélération de Coriolis

Énoncé:

Un avion se déplace depuis le Pôle Nord de la Terre (que nous considérons sphérique et de rayon RT) avec une vitesse v’ par rapport au référentiel non inertiel O’ situé au centre de la Terre (voir la figure). Le vecteur vitesse v’ se trouve dans le plan XY. La Terre tourne avec une vitesse angulaire ω constante. Déterminez l’accélération de Coriolis, en indiquant la norme, la direction et le sens, pour les points A, B, C et D de la trajectoire de l’avion. Donnez les résultats en utilisant les données du problème.

Mouvement relatif - Rotation de la Terre et accélération de Coriolis

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Solution:

Aceleración de Coriolis

L’accélération de Coriolis est donnée par:

ω est la vitesse angulaire de l’observateur en rotation (dans ce problème c’est O’ situé au centre de la Terre) et v’ la vitesse du corps qui se déplace mesurée par rapport à l’observateur en rotation.

La norme de l’accélération de Coriolis, comme pour n’importe quel autre produit vectoriel est:

Où θ est l’angle que forment les vecteurs ω et v’.

La direction et le sens de l’accélération de Coriolis sont obtenus par la règle du tire-bouchon. Nous allons voir comment l’utiliser pour les différents points représentés dans le figure de l’énoncé du problème.

Point A:

Comme vous pouvez l’observer sur la figure, pour le point A, l’angle θ est 900, par conséquent la norme de l’accélération de Coriolis est:

Pour déterminer la direction et le sens de l’accélération de Coriolis nous utilisons la règle du tire-bouchon.

Dans un premier temps nous faisons le produit vectoriel:

Les vecteurs ω et v’ pour le point A sont représentés dans la figure ci-dessous:

règle du tire-bouchon

Dans un premier temps, nous alignons la main droite avec le premier vecteur du produit vectoriel (dans ce problème ω). Puis nous fermons la main sur le deuxième vecteur du produit vectoriel (ici v’). Le pouce détermine la direction et le sens du produit vectoriel.

Le produit vectoriel de deux vecteurs n’est pas commutatif, par conséquent il faut respecter l’ordre des vecteurs utilisés dans le produit.

Le produit vectoriel de deux vecteurs est toujours perpendiculaire au plan défini par ces deux vecteurs. Dans la situation représentée dans la figure ci-dessus, le produit vectoriel des deux vecteurs est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’intérieur, comme l’indique le pouce.

Pour finir, le facteur -1 qui apparait dans l’expression de l’accélération de Coriolis change le sens du produit vectoriel, par conséquent ce vecteur sera perpendiculaire au plan de l’écran et pointera vers l’extérieur.

Les vecteurs unitaires qui définissent le sens positif des axes sont représentés dans la figure de l’énoncé. Le vecteur accélération de Coriolis au point A pointe dans le sens de k. Comme nous avons calculé précédemment sa norme, nous pouvons finalement écrire la valeur de l’accélération de Coriolis de l’avion lorsqu’il se trouve au point A:


Point B: L’angle θ que forment les vecteurs ω et v’ est 180-λ au point B, comme vous pouvez l’observer dans la figure ci-dessous. Nous avons déplacé le vecteur ω au point B dans celle-ci afin de rendre plus facile la détermination des angles.

Coriolis

Par conséquent, la norme de l’accélération de Coriolis de l’avion lorsqu’il se trouve au point B est:

Pour déterminer la direction et le sens du vecteur accélération de Coriolis nous utilisons la règle du tire-bouchon.

règle du tire-bouchon

La direction et le sens du vecteur accélération de Coriolis sont les même pour le point B que pour le point A, car ω et v’ définissent le même plan dans les deux cas.

En utilisant la norme de l’accélération de Coriolis, nous pouvons déterminer sa valeur finale lorsque l’avion se trouve au point B:


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Point C: L’angle θ que forment les vecteurs ω et v’ au point C est 180-λ, comme vous pouvez l’observer dans la figure ci-dessous. Nous avons déplacé le vecteur ω au point C pour que la détermination des angles soit plus facile.

Coriolis
Par conséquent. la norme de l’accélération Coriolis de l’avion lorsqu’il se trouve au point C est:

Pour déterminer la direction et le sens du vecteur accélération de Coriolis nous utilisons la règle du tire-bouchon. Dans un premier temps nous déterminons la direction et le sens du produit vectoriel:

Les vecteurs ω et v’ pour le point C sont représentés dans la figure ci-dessous:

règle du tire-bouchon

Comme dans les cas précédents, nous utilisons la règle du tire-bouchon, en déplaçant ω sur v’. Le pouce nous donne la direction et le sens du produit vectoriel des deux. Dans ce cas, le produit vectoriel est perpendiculaire au plan de l’écran et pointe vers l’extérieur (dans la direction et le sens de k).

Le facteur -1 qui apparait dans l’expression de l’accélération de Coriolis change le sens du produit vectoriel, par conséquent ce vecteur sera perpendiculaire au plan de l’écran et vers l’intérieur (-k).

Pour terminer, nous utilisons la norme de l’accélération de Coriolis que nous avons calculé précédemment. La valeur finale de cette accélération au point C est:

Comme vous pouvez le constater, pour une même latitude le vecteur accélération de Coriolis a un sens opposé dans l’hémisphère Nord et dans l’hémisphère Sud. C’est pour cette raison que les objets sont déviés vers la droite dans l’hémisphère Nord et vers la gauche dans l’hémisphère Sud.


Point D: Les vecteurs ω et v’ sont parallèles pour le point D, par conséquent leur produit vectoriel est le vecteur nul et l’accélération de Coriolis de l’avion est nulle en ce point.

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