Mouvement relatif - Vitesse de rotation de la Terre et latitude

Énoncé:

La Terre a un rayon RT = 6.35 106 m et tourne autour de son axe avec une période T = 24 h. Determinez:

  1. La norme de la vitesse angulaire de la Terre par rapport à un observateur au repos O (voir la figure).
  2. La vitesse linéaire d’un point de la superficie de la Terre en fonction de sa latitude λ.
  3. Si la latitude de Madrid est λ = 400, déterminer la vitesse linéaire à laquelle se déplace ce point de la Terre par rapport à O. Donnez le résultat avec les unités du Système International et en km/h.
  4. Sachant que la distance entre Madrid et Roma est d’approximativement 1300 km, et en supposant que les deux villes se trouvent à la même latitude, calculez la différence horaire pour le coucher de soleil entre ces deux villes.

Mouvement relatif - Vitesse de rotation de la Terre et latitude

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Solution:

La Terre tourne avec une vitesse angulaire ω constante par rapport à O. La norme de ω est défini par:

Où T es sa période (exprimée en secondes). La période est le temps que met la Terre pour faire un tour complet autour de son axe.

En substituant la valeur de T dans l’équation précédente on obtient:

Le vecteur vitesse angulaire ω de la Terre est représenté dans la figure qui accompagne l’énoncé de ce problème. Pour tout mouvement circulaire, ce vecteur est perpendiculaire au plan de rotation et son sens se détermine en utilisant la règle du tire-bouchon:


Tout point de la Terre décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon R (représenté en rouge dans la figure de l’énoncé du problème) par rapport à un observateur inertiel O. Dans un mouvement circulaire uniforme, la relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire est:

La distance à l’axe de chaque point de la Terre dépend de sa latitude λ. La latitude est la distance angulaire entre un point de la Terre et le plan de l’équateur, elle est mesurée le long du méridien qui passe par ce point. Vous pouvez voir une représentation de cet angle dans la figure de l’énoncé.

La figure ci-dessous représente la relation entre R et la latitude:

Par trigonométrie on obtient:

Nous pouvons déterminer la distance à l’axe R de chaque point de la Terre en fonction de sa latitude et du rayon de la Terre.

Nous substituons cette relation dans l’équation de la vitesse linéaire pour obtenir:

Cette vitesse linéaire est maximale à l’équateur (λ = 00) et nulle au pôles (λ = 900).


En utilisant l’équation ci-dessus avec la valeur de la latitude de Madrid (λ = 400), et en substituant les valeurs de la vitesse angulaire et du rayon de la Terre, on obtient:

En l’exprimant en km/h:

Comme vous pouvez le constater, cette vitesse est assez élevée. Nous ne nous en rendons pas compte au quotidien car le cerveau détecte les changements de vitesse (l’accélération et par conséquent les forces) mais pas la vitesse elle même.


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Pour déterminer la différence horaire entre le couché de soleil à Madrid et à Rome, nous utilisons la vitesse linéaire calculé précédemment en considérant que les deux villes se trouvent à la même latitude. L’énoncé nous donne la distance entre ce deux villes que nous appellerons s. La figure ci-dessous représente deux points A et B à la superficie de la Terre qui se trouvent à la même latitude. Ces deux points peuvent représenter les deux villes qui nous intéressent dans ce problème.

Si le soleil se couche à Rome (point A) à une certaine heure, le temps que mettra Madrid (du fait de la rotation de la Terre) pour se retrouver à la position qu’occupait Rome est:

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