Un río tiene un ancho d =40 m. La corriente de agua se mueve con respecto a un observador O en reposo en el suelo con una velocidad constante vA = – 6 i (m/s). Un bote quiere atravesar el río desde el punto A de una orilla al punto B de la otra, como se indica en la figura. El bote se mueve con una velocidad v’B = 4 j (m/s) con respecto a la corriente. Un ciclista cruza el río por un puente con una velocidad constante vC = 2 j (m/s) medida con respecto a O.
Calcular:
- La velocidad del bote con respecto a O.
- La velocidad del bote con respecto al ciclista.
- El tiempo que tarda el bote en cruzar el río.
- La distancia entre los puntos A y B.
- Si la corriente tuviera el doble de velocidad, ¿cuánto tiempo tardaría el bote en cruzar el río?
Solución:
En este problema tenemos velocidades referidas a dos sistemas de referencia diferentes: el que está en el suelo (O) y la corriente del río, que llamaremos O’. Esta última se mueve con velocidad constante con respecto a O, por lo que estamos ante un problema de movimiento relativo de traslación uniforme. Para resolverlo deberemos utilizar las transformaciones de Galileo.
Concretamente, la transformación de Galileo para las velocidades viene dada por:
Donde v es la velocidad medida por el observador en reposo y v’ la medida por el observador en movimiento de traslación uniforme con respecto al primero.
La velocidad del bote con respecto a O será por tanto v en la ecuación anterior y v’ es la velocidad del bote con respecto a la corriente (en el problema es v’B). V en el problema es la velocidad de un observador con respecto al otro (en nuestro caso la velocidad de la corriente con respecto a O, vA).
Aplicando la transformación de Galileo para las velocidades a los datos del problema tenemos entonces:
Y sustituyendo los valores de las velocidades correspondientes:
Para calcular la velocidad del bote con respecto al ciclista volvemos a hacer uso de la transformación de Galileo para las velocidades, pero en este caso el observador en movimiento O’ es el ciclista. Por tanto la ecuación que relaciona la velocidad del bote medida por O y por el ciclista viene dada por:
Y sustituyendo los datos del problema, la velocidad del bote con respecto al ciclista es:
Para calcular el tiempo que tarda el bote en cruzar el río conocemos el ancho que tiene y la componente y de la velocidad del bote con respecto a O. Como esta última permanece constante, la relación entre el espacio recorrido por el bote en línea recta entre las dos orillas, su velocidad en ese eje y el tiempo que tarda es:
Una vez calculado el tiempo que el bote tarda en cruzar el río, podemos utilizar este dato para calcular qué distancia horizontal ha recorrido en dicho tiempo, ya que conocemos la componente horizontal de su velocidad:
Y utilizando el teorema de Pitágoras hallamos la distancia entre los puntos A y B:
Si la corriente tuviera el doble de velocidad, el bote tardaría el mismo tiempo en cruzar el río, ya que la componente y de su velocidad no varía. Recorrería una distancia x mayor en el mismo tiempo.
La página Movimiento relativo – El rio y el bote ha sido originalmente publicada en YouPhysics
