Vecteurs position vitesse accélération - Par intégration

Énoncé:

Une particule se trouve initialement au repos à la position r0 = i – 2 (m) et a une accélération a = 3i (m/s2). Déterminez les vecteurs position, vitesse et accélération de la particule en fonction du temps.

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Solution:

Dans un premier temps, nous allons dessiner le référentiel que nous utiliserons pour résoudre le problème. Nous y représenterons aussi les conditions initiales du mouvement.

Comme vous pouvez l’observer sur la figure, le sens positif des axes peut être représenté de deux façons différentes. Vous pouvez utiliser les vecteurs unitaires i et j qui définissent les sens positifs des axes (en rouge sur la figure) ou bien ajouter le signe plus à coté de chaque coordonnée pour déterminer le sens positif de l’axe correspondant. Il n’est pas nécessaire d’utiliser les deux représentations.

Les vecteurs unitaires indiquent en outre l’unité pour chaque axe. Le vecteur position initiale (en vert) et l’accélération de la particule sont représentés dans la figure précédente.

Le vecteur accélération de la particule en fonction du temps est l’une des données du problème. C’est une constante comme vous pouvez le constater (la particule a la même accélération à tout moment):


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Nous utilisons la définition de l’accélération pour déterminer le vecteur vitesse en fonction du temps:

Ci-dessous, nous intégrons les deux membres de l’équation précédente:

Les intégrales qui apparaissent dans l’équation précédente sont définies. Pour déterminer quels sont leurs bornes il faut d’abord déterminer quelle est la variable d’intégration. Dans le second membre (à droite) c’est le temps, ce qui signifie que l’intégrale sera évaluée entre le temps initial (que nous supposons égal à zéro) et un temps générique t. Nous obtenons de cette façon le vecteur vitesse en fonction du temps.

Les bornes de l’intégrale à gauche sont deux vitesses, car la variable d’intégration est la vitesse. La borne inférieure est le vecteur vitesse au temps initial et la borne supérieure est le vecteur vitesse au temps t. Comme la particule est immobile initialement, nous substituons la vitesse initiale par le vecteur nul.

Nous intégrons et substituons les bornes de l’intégrale:


Pour calculer le vecteur position en fonction du temps nous utilisons sa définition et nous intégrons. Pour déterminer les bornes des intégrales nous employons la même méthode que celle utilisée pour calculer le vecteur vitesse.

Nous intégrons et substituons les bornes de l’intégrale:

Et finalement nous regroupons les termes:

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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