Vecteurs position vitesse accélération - Mouvements parabolique et uniforme

Énoncé:

Un enfant lance une balle depuis le point O de la figure avec une vitesse initiale v0 (m/s) et un angle α = 600 avec l’axe horizontal. L’enfant souhaite que la balle tombe dans la benne d’un camion (de longueur L = 15 m) qui se déplace avec une vitesse constante vC = 20 i (m/s). La distance à laquelle se trouve initialement le camion de l’enfant est d0 = 10 m.

Vecteurs position vitesse accélération - Mouvements parabolique et uniforme

Déterminez:

  1. La valeur minimale de la norme du vecteur v0 pour que la balle tombe dans la benne.
  2. La valeur maximale de la norme du vecteur v0 pour que la balle tombe dans la benne.

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Solution:

Dans une premier temps nous allons écrire le vecteur position de la balle en fonction du temps. Pour faire cela, nous utilisons le vecteur accélération et nous intégrons. L’accélération de la balle est celle de la gravité:

Le vecteur vitesse initiale de la balle exprimé en fonction de ses vecteurs constituants est défini par:

Dans le Problème 6 vous pouvez voir en détail comment sont calculés les projections du vecteur vitesse sur les axes cartésiens.

En intégrant le vecteur accélération, nous obtenons le vecteur vitesse de la balle en fonction du temps:

Si vous souhaitez voir en détail comment l’on résout cette intégrale, vous pouvez consulter le Problème 1.

En substituant les composantes du vecteur vitesse initiale calculées précédemment et en regroupant les termes nous obtenons:

Nous intégrons maintenant le vecteur vitesse pour calculer le vecteur position de la balle en fonction du temps:

Le vecteur de position initiale de la balle r0 est le vecteur nul car la balle commence son mouvement à l’origine des coordonnées.

Nous écrivons séparément les composantes x et y du vecteur position:

Le camion se déplace avec une vitesse constante, en conséquence la coordonnée x de sa position en fonction du temps s’écrit:

Dans l’équation (3) nous avons écrit la coordonnée x de la position du camion par rapport au même référentiel que celui utilisé pour la balle, qui correspond à l’observateur O représenté dans la figure.


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Pour que la balle tombe dans le camion, la coordonnée x de leur position doit être égale au même moment:

Nous pouvons calculer le temps de l’équation (4) en utilisant l’équation (2) car lorsque la balle tombe dans le camion, la coordonnée y de sa position doit être nulle par rapport au référentiel utilisé dans la figure. En conséquence:

En substituant le temps obtenu dans l’équation (5) dans l’équation (4) on obtient:

Puis en substituant les données du problème on obtient une équation du second degré d’inconnue v0. Seule la racine positive du polynôme nous intéresse car nous calculons la norme d’une vitesse.

Le résultat est:

Cette valeur est la norme minimale que doit avoir le vecteur vitesse initiale pour que la balle tombe dans la benne du camion (dans la partie gauche de la benne).


La valeur maximale de v0 est celle pour que la balle tombe dans la partie droite de la benne du camion. Dans ce cas:

En utilisant la même méthode que pour calculer la valeur minimale de v0 on arrive au résultat suivant:

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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