Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement parabolique

 

Énoncé:

Un skieur saute dans le vide depuis une falaise d’une hauteur h = 30 m. Le vecteur vitesse initiale a une norme de 40 m/s et forme un angle α = 300 avec l’horizontale (voir la figure).

  1. Calculez les vecteur position, vitesse et accélération du skieur en fonction du temps dans le référentiel d’origine O.
  2. Déterminez le temps que met le skieur pour arriver au sol.
  3. Déterminez la distance horizontale parcourue par le skieur lorsqu’il arrive au sol.
  4. Calculez son vecteur vitesse en arrivant au sol.

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Solution:

Nous allons calculer les vecteurs position, vitesse et accélération par rapport à l’observateur O représenté dans la figure.

Comme le sens positif de l’axe y est orienté vers le bas, l’accélération du skieur est définie par:

Dans ce référentiel, le vecteur vitesse initiale du skieur est:

En substituant les valeurs numériques fournies dans l’énoncé du problème:

Vous pouvez voir en détail comment sont calculées les projections du vecteur vitesse dans le repère cartésiens dans le problème Problème 6.

Pour calculer le vecteur vitesse du skieur en fonction du temps nous partons de la définition ce vecteur et nous intégrons:

Si vous souhaitez voir en détail comment l’on résout cette intégrale, vous pouvez consulter le Problème 1.

En substituant le vecteur vitesse initial et en regroupant les termes nous obtenons:

Nous allons maintenant calculer le vecteur position du skieur en fonction du temps. Son vecteur position initiale est le vecteur nul car la trajectoire commence à l’origine O des coordonnées. En intégrant la définition du vecteur vitesse on obtient:

En substituant la valeur du vecteur vitesse on obtient:

Nous écrivons séparément les composantes du vecteur position car nous en aurons ensuite besoin pour résoudre les autres questions du problème:


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Lorsque le skieur atteint le sol il a parcouru une distance verticale y = h = 30 m. Nous utilisons cette condition dans l’équation (2):

Nous ne conservons que la racine positive du polynôme de second degré, car nous calculons un temps.


La distance horizontale parcourue par le skieur lorsqu’il arrive au sol se calcule en substituant la durée de la chute dans l’équation (1):


Le vecteur vitesse à ce moment se calcule en substituant la durée de la chute dans l’expression du vecteur vitesse en fonction du temps:

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