Un esquiador se lanza al vacío por un acantilado de altura h = 30 m . Su velocidad inicial tiene módulo 40 m/s y forma un ángulo α = 300 con la horizontal (ver figura).
- Calcular los vectores de posición, velocidad y aceleración del esquiador en función del tiempo con respecto al sistema de referencia con origen en O.
- Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo.
- Determinar la distancia al acantilado a la que cae.
- Calcular su vector velocidad al llegar al suelo.
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Solución:
Vamos a calcular los vectores de posición, velocidad y aceleración con respecto al observador O representado en la figura.
Como el sentido positivo del eje y apunta hacia abajo, la aceleración del esquiador viene dada por:
El vector velocidad inicial del esquiador es, con respecto a este sistema de referencia:
Y sustituyendo los valores numéricos que nos dan en el enunciado del problema:
Si quieres ver más en detalle cómo se calculan las proyecciones del vector velocidad sobre los ejes cartesianos puedes consultar el Problema 6.
Para calcular el vector velocidad del esquiador en función del tiempo partimos de la definición de dicho vector e integramos:
En el Problema 1 tienes una explicación más detallada de cómo se calculan estas integrales.
Sustituyendo el vector velocidad inicial y agrupando términos:
A continuación vamos a calcular el vector de posición del esquiador en función del tiempo. Su vector de posición inicial es cero porque parte del origen de coordenadas. Integrando la definición del vector velocidad:
Y sustituyendo el valor del vector velocidad:
Como después vamos a necesitarlas para resolver los otros apartados del problema, vamos a escribir por separado las componentes del vector de posición:
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Cuando el esquiador llegue al suelo habrá recorrido una distancia vertical y = h = 30 m. Por tanto vamos a imponer esta condición a la ecuación (2):
De las dos raíces que obtengas del polinomio de segundo grado deberás quedarte con la positiva, ya que estamos calculando un tiempo.
La distancia al acantilado a la que cae se calcula sustituyendo el tiempo que está en el aire en la ecuación (1):
El vector velocidad en ese momento se calcula sustituyendo el tiempo que está en el aire en la expresión del vector velocidad en función del tiempo:
