Una partícula se encuentra inicialmente en la posición r0 = 3i + 2j (m) y tiene una aceleración a = -10j (m/s2). Su velocidad inicial es v0 = 2i + 2j (m/s). Determinar los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo. Escribir la ecuación de la trayectoria de la partícula en la forma y(x).
Solución:
En primer lugar vamos a dibujar los ejes cartesianos que emplearemos para resolver el problema así como las condiciones iniciales del mismo.
El vector aceleración de la partícula (que no está dibujado a escala) apunta en el sentido negativo del eje vertical.
Observa que hemos trasladado los ejes hasta el extremo del vector de posición r0 , donde se encuentra la partícula en el instante inicial, para dibujar su vector velocidad inicial v0 (en color magenta).
El vector aceleración de la partícula es constante a lo largo del tiempo y es un dato del problema:
Para calcular el vector velocidad utilizamos la definición del vector aceleración e integramos:
Si quieres ver más en detalle cómo se eligen los extremos de la integral, puedes consultar el Problema 1.
Integrando ambos miembros:
Y agrupando términos:
También podemos expresar por separado cada una de las componentes del vector velocidad:
Ambas formas de expresar el vector velocidad son equivalentes; en la primera el vector está expresado en función de sus vectores constituyentes y en la segunda en componentes. La primera es la más utilizada en Física.
Para calcular el vector de posición partimos de la definición del vector velocidad e integramos utilizando el vector velocidad que acabamos de calcular:
Y sustituyendo el vector de posición inicial:
Para escribir la ecuación de la trayectoria en la forma y(x), escribimos en primer lugar el vector de posición en componentes (forma paramétrica):
Despejamos t de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
Y operando:
Por tanto la partícula describe un movimiento parabólico. A continuación está representada gráficamente la parábola.
