Vectores posición velocidad aceleración – Movimientos parabólico y uniforme

Enunciado:

Desde el punto O de la figura un niño lanza una pelota con una velocidad inicial v0 (m/s) que forma un ángulo α = 600 con la horizontal. El niño quiere que la pelota caiga dentro de la caja de un camión (que tiene una longitud L = 15 m) que se mueve con velocidad constante vC = 20 i (m/s). La distancia a la que se encuentra inicialmente el camión del lanzador es d0 = 10 m.

Vectores posición velocidad aceleración - Movimientos parabólico y uniforme

Calcular:

  1. El valor mínimo del módulo de v0 para que la pelota caiga dentro de la caja.
  2. El valor máximo del módulo de v0 para que la pelota caiga dentro de la caja.

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Solución:

En primer lugar vamos a escribir el vector de posición de la pelota en función del tiempo. Para ello, partimos del vector aceleración e integramos. La aceleración de la pelota es la de la gravedad:

El vector velocidad inicial de la pelota expresado en función de sus vectores constituyentes viene dado por:

En el Problema 6 puedes ver una discusión más detallada de cómo se calculan las proyecciones del vector velocidad sobre los ejes cartesianos.

Integrando el vector aceleración obtenemos el vector velocidad de la pelota en función del tiempo:

En el Problema 1 puedes ver con más detalle cómo se resuelve esta integral.

Y sustituyendo las componentes del vector velocidad inicial y agrupando términos:

Ahora integramos el vector velocidad para calcular el vector de posición de la pelota en función del tiempo:

El vector de posición inicial de la pelota r0 es cero porque parte del origen de coordenadas.

A continuación vamos a escribir por separado las componentes x e y de este vector de posición:

El camión se mueve con velocidad constante, por lo que la coordenada x de su posición en función del tiempo viene dado por:

Observa que el la ecuación (3) hemos escrito la coordenada x de la posición del camión con respecto al mismo sistema de referencia que para la pelota, que es el observador O representado en la figura.


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Para que la pelota caiga dentro del camión, la coordenada x de la posición de ambos debe ser igual en el mismo tiempo:

El tiempo que aparece en la ecuación (4) podemos calcularlo haciendo uso de la ecuación (2) ya que, cuando la pelota caiga dentro de la camión, la coordenada y de su posición ha de ser nula con respecto al sistema de referencia representado en la figura. Por tanto:

Y sustituyendo el tiempo dado por la ecuación (5) en la ecuación (4):

Sustituyendo los datos del problema y obtendrás una ecuación de segundo grado cuya incógnita es v0. De las dos raíces del polinomio deberás tomar la positiva, ya que estamos calculando el módulo de una velocidad.

El resultado es:

Este valor es el mínimo que debe tener el módulo de la velocidad inicial de la pelota para que esta caiga dentro de la caja del camión (en la parte trasera).


El valor máximo de v0 corresponderá a la situación en que la pelota cae dentro de la caja del camión pero en la parte delantera. En este caso:

Y utilizando el mismo procedimiento que para calcular el calor mínimo de v0 se llega al resultado:

No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.

La página Vectores posición velocidad aceleración – Movimientos parabólico y uniforme ha sido originalmente publicada en YouPhysics